Compact: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Versie 11256450 van 86.83.155.44 ongedaan gemaakt. { (-a, 2+a), a>0} overdekt [0,1] maar iedere doorsnede van een deelfamile bevat 2 |
herformulering definitie in overeenstemming met overleg |
||
Regel 2:
==Definitie==
Een [[topologische ruimte]]
:<math>\{U_i een willekeurige, eventueel oneindige, familie [[open verzameling]]en van ''X'' is zodanig dat :<math>\bigcup_{i\in I}U_i er een ''[[cardinaliteit|eindige]]'' deelfamilie <math>J\subset I</math> is waarvoor ook :<math>\bigcup_{i\in J}U_i Een deelverzameling ''D'' van ''X'' heet compact als ze, uitgerust met de [[deelruimtetopologie]], op haar beurt een compacte topologische ruimte vormt. Dit is gelijkwaardig met de eis dat voor elke willekeurige familie open verzamelingen ''van X'' die ''D'' overdekt, er een eindige deelfamilie bestaat die ''D'' nog steeds overdekt. Dus als
:<math>\{U_i|i\in I\}\subset\mathcal{T}</math>
een willekeurige, eventueel oneindige, familie [[open verzameling]]en van ''X'' is zodanig dat
:<math>\bigcup_{i\in I}U_i \supseteq D,</math>
dan bestaat er een ''[[cardinaliteit|eindige]]'' deelfamilie <math>J\subset I</math> waarvoor ook
:<math>\bigcup_{i\in J}U_i \supseteq D.</math>
==Eigenschappen==
Regel 12 ⟶ 24:
De stelling van [[Andrej Nikolajevitsj Tychonov|Tychonov]] luidt dat het [[Producttopologie|product]] van compacte ruimten opnieuw compact is.
==Compacte
Als de topologische structuur van ''X'' afkomstig is van een afstandsfunctie ([[metrische ruimte|metriek]]), dan is compactheid gelijkwaardig met de volgende eigenschap: iedere [[rij (wiskunde)|rij]] in ''X'' heeft een [[convergentie (wiskunde)|convergente]] deelrij.
| |||