Sine-Gordon-vergelijking

De sine-Gordon-vergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die een belangrijke rol speelt bij het bestuderen van de (lange) Josephson-junctie. De vergelijking is

De naam sine-Gordon-vergelijking is een woordspeling op Klein-Gordonvergelijking, verwijzend naar de sinusfunctie: de Engelse term voor sinus is sine.

Type vergelijkingBewerken

Deze vergelijking is een niet-lineaire, tweede-orde, hyperbolische, partiële differentiaalvergelijking. Een van de bijzondere en interessante eigenschappen van deze vergelijking is dat er exacte oplossingen van bestaan. Met name de oplossing van het type lopende golf zijn interessant en relevant voor het begrijpen van de fysica van de Josephson juncties.

OplossingenBewerken

Oplossingen van het type lopende golf kunnen gevonden worden door aan te nemen dat de oplossing van de vergelijking alleen afhangt van een variabele die meeloopt met de oplossing. Definieer:

 

Oplossingen van de vergelijking

 

leiden dat tot oplossingen van de sine-Gordon-vergelijking, door te schrijven:

 

De belangrijkste lopende golf oplossing (kink-oplossing) is daarmee te schrijven als:

 

Dit is een lopende golf, met snelheid  . De constante   is het gevolg van het feit dat in de vergelijking geen expliciete afhankelijkheid van   en   voorkomen. Een verschuiving van de oplossing is weer een oplossing.

Deze oplossing is een soliton. De oplossing   neemt hierbij toe van 0 tot   voor   gaande van minus oneindig naar plus oneindig.

VerstoringenBewerken

De sine-Gordon-vergelijking zoals boven getoond is een vergelijking die exacte oplossingen toelaat (zoals de in vorige paragraaf beschreven kink-oplossing). Deze oplossing is een oplossing waarvan de energie behouden blijft. Voor de fysica van de Josephson-junctie is een verstoorde (aangepaste) versie van de vergelijking van groot belang:

 

In deze vergelijking staan   en   voor energie-verlies termen (weerstand in de Josephson junctie) en   voor energie-toevoer. Bij snelheid   is er geen verlies term en als ook de term   krijgen we de ongestoorde vergelijking terug en ook dezelfde oplossing.

Door de   te laten toenemen zal ook de snelheid   moeten toenemen, zodanig dat er een energie-behoud geldt.

EnergieBewerken

De sine-Gordon-vergelijking is een Hamiltonsysteem, met de Hamiltoniaan

 

en waarbij  . De waarde van deze Hamiltoniaan kan natuurkundig worden geïnterpreteerd als de energie van het systeem, en kan niet negatief worden. De Hamilton-vergelijkingen zijn:

 

Eliminatie van   uit deze twee vergelijkingen geeft de sine-Gordon-vergelijking.

Door de tijdsafgeleide van deze Hamiltoniaan   te bepalen, en daarin de verstoorde vergelijking in te vullen - die niet voldoet aan het Hamilton systeem - blijkt dat:

 

Hierin is duidelijk te zien dat positieve waarden van   en   de energie (Hamiltoniaan) laten afnemen. Bij   hangt het af van de waarde van  . Fysisch gezien komt dit doordat de parameter   correspondeert met een stroom. De lopende kink-oplossing is een fluxon: een pakketje magnetische energie. De richting van de stroom en de richting van het magnetisch veld—afhankelijk van de looprichting van het fluxon—bepalen of het fluxon wordt versneld (toename van energie) of vertraagd (afname van energie).