Kovář speelde van 2008 tot 2018 in de jeugdopleiding van 1. FC Slovácko en verruilde die toen voor die van Manchester United. In het seizoen 2020/21 werd Kovář uitgeleend aan Swindon Town, dat speelde in de League One. Hij maakte op 8 september in de EFL Trophy tegen West Bromwich Albion zijn debuut voor Swindon en maakte vier dagen later tegen Rochdale ook zijn competitiedebuut. Hij speelde 21 wedstrijden in een halfjaar, totdat hij in de winter weer teruggehaald werd naar Manchester United.
Precies een jaar later werd hij opnieuw verhuurd, ditmaal aan Burton Albion, eveneens spelend in de League One. Hij keepte de laatste zes competitiewedstrijden van het seizoen en keerde toen opnieuw terug naar Manchester. Zijn derde uitleenbeurt was naar Sparta Praag uit zijn thuisland. Hier was hij een seizoen lang eerste keeper en kwam hij tot 32 wedstrijden in alle competities.
Op 15 augustus 2023 verliet Kovář Manchester United definitief, om voor vier seizoenen te tekenen bij Bayer 04 Leverkusen. Dat betaalde 7,7 miljoen pond voor de Tsjechische doelman. Bij Bayer was hij tweede doelman achter Lukáš Hrádecký, maar hij mocht wel de bekerwedstrijden en Europa League-wedstrijden keepen. In beide competities bereikte hij de finale. Op 22 mei 2024 verloor hij als doelman met 3-0 van Atalanta Bergamo in de EL-finale, maar drie dagen later werd de bekerfinale wel gewonnen, van 1. FC Kaiserslautern. Ondertussen had Bayer ook al de competitie gewonnen, voor het eerst in de geschiedenis, hoewel Kovář in de competitie slechts één wedstrijd gekeept had.
Kovář kwam uit voor de jeugdelftallen van Tsjechië onder 18, 19, 20 en 21 en maakte op 26 maart 2024 zijn debuut als international van Tsjechië in de oefeninterland tegen Armenië. Hij ging mee naar het EK 2024 en verving eerste doelman Jindrich Stanek toen hij in de derde groepswedstrijd na 55 minuten geblesseerd uitviel.
Bayer Leverkusen
League One
Change Liga
