Gebruiker:Patrick/quotenotatie

De quotenotatie van rationale getallen in het b-tallig stelsel (met b een geheel getal groter dan 1) is als volgt.

Een enkel aanhalingsteken wordt gebruikt om de positie van het rechteruiteinde van een oneindig naar links repeterend deel aan te geven. Als deze samenvalt met de positie van de komma wordt de combinatie aangegeven met een uitroepteken. Voor alle eindige cijferreeksen x en y geldt dus x'y = x'xy. In een context waarin uniformiteit van de notatie is gewenst wordt een getal in zo kort mogelijke vorm geschreven (kanonieke of genormaliseerde vorm). Bij een berekening wordt vaak tijdelijk een langere vorm gebruikt.

In overeenstemming met het decimale talstelsel spreekt men van de cijfers van dat getal. Bij b>10 moet men of extra tekens gebruiken (zoals in de hexadecimale notatie), of bijvoorbeeld spaties tussen de "cijfers" zetten.

b = 10

Gehele getallen

Positieve gehele getallen en 0: als gebruikelijk.

Negatieve gehele getallen worden weergegeven als ten's complement van de absolute waarde:

-1 = 9'

-2 = 9'8

-3 = 9'7

-17 = 9'83

Rekenen

Het optellen, aftrekken en vermenigvuldigen gebeurt als gebruikelijk. Bij deling met een deler die niet deelbaar is door 2 of 5 worden de cijfers net als bij de andere operaties (maar anders dan bij een gewone staartdeling) van rechts naar links bepaald. Als de deler deelbaar is door 2 of 5 wordt bijvoorbeeld 1/15 berekend als (2/3)/10, waarbij het delen door 10 gebeurt door het verplaatsen van de komma.

In een eindig aantal stappen wordt de exacte uitkomst gevonden, namelijk als duidelijk is hoe de rij repeteert.

Niet-gehele getallen

-1/3 = 3'

-2/3 = 6'

-1/6 = 6!5

-5/6 = 3'2,5

-1/7 = 142857'

-2/7 = 285714'

-3/7 = 428571'

-4/7 = 571428'

-5/7 = 714285'

-6/7 = 857142'

-1/9 = 1'

-2/9 = 2'

-4/9 = 4'

-5/9 = 5'

-7/9 = 7'

-8/9 = 8'

1/3 = 6'7

2/3 = 3'4

1/6 = 3!5

5/6 = 6'7,5

1/7 = 285714'3

2/7 = 571428'6

3/7 = 857142'9

4/7 = 142857'2

5/7 = 428571'5

6/7 = 714285'8

1/9 = 8'9

2/9 = 7'8

4/9 = 5'6

5/9 = 4'5

7/9 = 2'3

8/9 = 1'2

Deze resultaten kunnen gevonden worden met de bovengedoende procedure voor deling, maar ook als volgt.

Als een getal te schrijven is als plus of min een gewone repeterende breuk tussen 0 en 1 met het eerste zich herhalende deel direct beginnend na de komma, dan is het resultaat: min of plus het geheel van dezelfde zich herhalende repeterende delen, nu voor de komma, met het meest rechtse van de repeterende delen eindigend bij de komma.

Zo kan bijvoorbeeld 2/9 worden uitgewerkt als - 2' = 7'8 of als 1 - 7/9 = 1 + '7 = 7'8. Bij 1/6 begint het eerste zich herhalende deel niet direct na de komma, maar het kan bijvoorbeeld worden uitgewerkt als (5/3)/10 = (1 + 2/3) / 10 = (2 - 1/3) / 10 = (2 +'3) / 10 = 3'5 / 10 = 3!5.

Ordening

Het deel van de kanonieke notatie tot en met de quote (met inachtneming van de plaats van de komma, ook al staat die rechts van de quote) is het negatieve deel van het getal, het deel na de quote (met inachtneming van de plaats van de komma, ook al staat die links van de quote) het positieve deel. De eerste cijfers van beide zijn nooit gelijk. Welke het grootst is bepaalt of het getal positief of negatief is.

Voor het vergelijken van twee getallen moet eerst het verschil bepaald worden. Het is meer werk dan bij de gewone notatie.

b is priemgetal p

Als b een willekeurig priemgetal is wordt vaak de letter p gebruikt. Veel werkt hetzelfde als bij grondtal 10, maar dan zonder enkele complicaties daarbij zoals die bij grondtal 10 hierboven zijn aangestipt.

Zie ook

• P-adisch getal

Externe link

http://www.cs.utoronto.ca/~hehner/ratno.pdf

Bronnen, noten en/of referenties