Gebruiker:Madyno/Kladblok/Inclinometer

atoom (koolstofatoom)

atoomsoort = aanduiding voor atomen met hetzelfde atoomnummer (koolstof?)

element = (koolstof)

nuclide = aanduiding voor een type atoom van een bepaalde atoomsoort en een specifieke atoommassa

isotopen = nucliden van dezelfde atoomsoort maar met veschillende atoommassa

ook: een isotoop van koolstof is een van de nucliden van C

enkelvoudige stof = chemische stof van één atoomsoort; een van de verschijningsvormen van een element (diamant, grafiet)

samengestelde stof

zuivere stof = enkelvoudig of samengesteld

mengsel

metaal

Verwachting

bewerken

Algemeen ook:

 

Eigenschap?

 , dan  
 

Theorie, praktische uitvoering vindt men op Wikipedia

Een transformator bestaat uit twee of meer wikkelingen die inductief gekoppeld zijn door wederzijdse magnetische flux. Een van deze wikkelingen noemt men de primaire wikkeling, de andere de secundaire. In principe wordt de primaire wikkeling aangesloten op een wisselspanning of wordt er een wisselstroom door gestuurd. De stroom door de primaire wikkeling produceert een alternerende flux worden, afhankelijk van de verandering van de primaire stroom en het aantal wikkelingen. De wederzijdse flux induceert in de secundaire wikkeling(en) een spanning waarvan de waarde afhangt van het aantal secundaire wikkelingen en de grootte van de wederzijdse flux.

De koppeling tussen de primaire en de secundaire spoel kan verlopen in lucht, maar is veel effectiever als de trafo een kern van ijzer of ander ferromagnetisch materiaal heeft, zodat het grootste deel van de flux door deze kern met hoge permeabiliteit verloopt.

Voor het beschrijven van een transformator gebruikt men de grootheden:

  •  , de spanning over de klemmen van de primaire spoel
  •  , de spanning over de klemmen van de secundaire spoel
  •  , de stroom door de klemmen van de primaire spoel
  •  , de stroom door de klemmen van de secundaire spoel
  •  , het aantal wikkelingen van de primaire spoel
  •  , het aantal wikkelingen van de secundaire spoel
  •  , de transformatieverhouding
  •  , de weerstand van de primaire spoel
  •  , de weerstand van de secundaire spoel
  •  , de geïnduceerde spanning in de primaire spoel
  •  , de geïnduceerde spanning in de secundaire spoel
  •  , de gemeenschappelijk magnetische flux in de beide spoelen
  •  , de magnetische flux in de primaire spoel
  •  , de magnetische flux in de secundaire spoel
  •  , de lekflux in de primaire spoel
  •  , de lekflux in de secundaire spoel
  •  , de zelfinductie in de primaire spoel tgv de lekflux
  •  , de zelfinductie in de secundaire spoel tgv de lekflux
  •  , parallel weerstand ter beschrijving van de "ijzerverliezen"
  •  , stroom door   ter beschrijving van de "ijzerverliezen"
  •  , de zelfinductie in het primaire circuit tgv de gemeenschappelijke flux
  •  , de stroom door   voor de gemeenschappelijke flux


De ideale trafo

bewerken

Een ideale transformator is een hypothetische vorm van een transformator waarin alle verliezen als gevolg van praktische beperkingen afwezig zijn. Deze verliezen zijn:

  • koperverliezen, als gevolg van de weerstand van de draden van de spoelen
  • ijzerverliezen, als gevolg van de wervelstromen in de kern
  • lekverliezen, als gevolg van de onvolledige koppeling tussen de beide spoelen

Voor een ideale transformator geldt dus:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


  stroom door primaire bij open secundaire
  stroom door secundaire als gevolg van de secundaire belasting
  totale stroom door primaire
 
 
 


 
 
 

met

 


Trafo belast net impedantie  

  •  
  •  
  •  




Uitgangspunten
  1. het magnetische veld wordt veroorzaakt door de stroom door de windingen
  2. veranderingen in de magnetische flux veroorzaken een spanning in de wikkelingen
  3. hoe ontstaat de stroom door de primaire wikkeling? en dus de flux.
  4. kan er een primaire stroom lopen bij open secundair circuit?
  5. zonder secundaire wikkeling is de trafo een gewone zelfinductie?

Uit 5 zou volgen dat de trafo een impedantie   heeft, zodat er bij primaire spanning   een primaire stroom loopt  . Maar dan zou er ook een secundaire stroom moeten lopen als er een onbelaste secundaire spoel is?

 

???

 
 
 
 
 

Reële trafo

bewerken

stroom door primair veroorzaakt magnetische flux daarvan een deel door secondaire koppelingsfactor k lek koperverliezen ijzerverliezen

Primaire stroom:  , secundaire  . Verband:??????

 

  • koppelingsfactor k<1
  • Rp koperverlies primair
  • Rc ijzer- en magnetisatieverlies
  • Rs koperverlies second1
  • primair lekinductie Xp
  • ssecundair lekinductie Xs
  • magnetiseringsinductie Xm???

Een deeltje bevindt zich in   op   met snelheid in x-richting   verdeeld volgens de dichtheid   (onafhankelijk van de tijd? afh van plaats?? wand??). Het vlak K met oppervlak   bevindt zich in  

Flux is het aantal deeltjes die per seconde per m2 het vlak passeren

in volume   bevinden zich ongeveer   deeltjes

In tijd   passeert een deeltje het vlak als

links van K:

 

aantal van links vanaf  

 

totaal van links

 

rechts van K:

 

aantal van rechts vanaf  

 

Vanwege symmetrie  

 

totaal van rechts

 

verschil:

 
?? 


flux

 
 


=======
bewerken

Als R niet afh van x:

 
 
 
 
 

Als R wel afh van x:

 
 


Simplificatie

bewerken

Helft deeltjes heeft snelheid  , andere helft  .

In tijd   passeert dan helft deeltjes vlak K met oppervlakte A als

 ,

dus

 

of

 

dat zijn de halve aantallen van de deeltjes in volume tussen   en in volume tussen   dus naar rechts

 

en naar links

 

netto over A in tijd  

 

flux

 

???

 
 

Random walk

bewerken

Deeltjes in equidistante vlakken op afstand  . In tijd   springt deelje naar naburig vlak. Helft deeltjes heeft snelheid  , andere helft  . Vlak K in   In tijd   passeert dan helft deeltjes uit vlak in   het vlak K naar rechts en helft deeltjes uit vlak in   naar links

dus naar rechts

 

en naar links

 

netto over A in tijd  

 

flux

 

idem als boven

Dit kun je wel schrijven als

 

maar wat helpt dat?


  oke

Stationaire situatie Aantallen deeltjes aan weerszijden van vlak in  , tussen   en  :

 
 

De helft van deze aantallen deeltjes passeert het vlak in tijd  , als  , waarin   de vrij weglengte is. d.w.z de gemiddelde snelheid langs de x-as

verwachte aantallen

 
 

flux

 ???
 ???
 
 
 ????

Oudenaarde van het MIT zegt:

 

random walk

  positie na n stappen ter lengte  
 
 

snelheid:

 

tijd voor 1 stap

 

tijd voor n stappen

 

voor

 , is  , dus
 ?????

Elektrische flux

bewerken

Flux door A:

  (Vm)

gemiddelde dichtheid

  (V/m)

Elektrische verplaatsing in lineair medium

 


[E] = N/C = V/m

halve bol

 

dan

 
 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Hyperbool

bewerken

Is een hyperbool altijd symmetrisch? Voorbeeld: snijdt een kegel met xy-vlak en beschrijf de kegelsnede in het xy-vlak. Neem een kegel met top in (0,0,1) en als as de lijn door (0,0,1) en (0,-3,0). Voor de lijn geldt

 

De punten   van de kegel liggen op een cirkel loodrecht op de as, met middelpunt   op de as:

 

en straal evenredig met afstand tussen middelpunt en top. Die afstand is:

 

Neem

 

De punten voldoen aan:

 

met

  (loodrecht op de as)

dus

  dwz  ,

zodat

 

of

 

Snijden met xy-vlak

 , dus
 

Op cirkel:

 ,

dus

 ,
 ,
 ,

Dus symmetrisch

 


Algemeen

Kegel kegel met top in   en als as de lijn door   en  . Voor een punt  op de lijn geldt

 

De punten   van de kegel liggen op een cirkel loodrecht op de as, met middelpunt   op de as:

 

en straal evenredig met afstand tussen middelpunt en top. Die afstand is:

 

Neem

 


De punten liggen in een vlak door   loodrecht op de as:

 

met

  (loodrecht op de as)

dus

 


Snijden met xy-vlak

 


Op cirkel:

 ,

dus

 
  is parameter????

Eulerhoeken

bewerken

Conventies:

  1. Om de assen van het lichaamseigen stelsel XYZ
  2. Om de assen van het vaste assenstelsel xyz

Verder is de vraag in welk stelel de vectoren beschreven worden.

  1. xyz
  2. XYZ

De rotatie   is steeds

  1.  : om z over  
  2.  : om x'=N over  
  3.  : om z"=Z over  


Dit is equivalent, d.w.z. dezelfde rotatie, met  , waarin

  1.  : om z over  
  2.  : om x over  
  3.  : om z over  

Beschreven in het vaste xyz-stelsel zijn de bjbehorende matrices

Standaard rotaties

 ,   en  

Algemeen

 
 
 
 
 
 

Afspraak is dat om de z-as over 30 grd draaien, in tegenwijzerzin gebeurt.

Dus (1,0,0) gaat naar (1/V2, 1/2, 0


Mathworld berekent correct, met andere ABCD als boven:

 

Alias- en alibitransformatie

bewerken

Een landmeter in Parijs meet de Eiffeltoren op. Hij gebruikt een xyz-assenstelsel met de oorsprong midden op Place de l'Etoile, het xy-vlak horizontaal, de x-as noord, de y-as west en de z-as verticaal. Een landmeter in Sydney meet ook de Eiffeltoren op, in zijn eigen XYZ-assenstelsel met de oorsprong preies in het centrum van Sydney, het XY-vlak horizontaal, de X-as oost, de Y-as noord en de Z-as verticaal. De Eiffeltoren, het object, heeft twee stel coördinaten (aliassen): een t.o.v. het xyz-stelsel en een t.o.v. het XYZ-stelsel; een aliastransformatie rekent xyz om in XYZ. De man uit Parijs meet ook z'n auto, die hij zo gezet heeft dat lengteas door x-as, breedteas door y-as. Hij gaat ermee naar Sydney en zet de auto daar zo neer dat lengteas de X-as is, etc. De auto heeft in beide stelsels dezelfde coördinaten, maar is wel ergens anders (alibi). De coördinaten in Sydney, kunnen worden uitgedrukt in de Parijse door een alibitransformatie. In beide gevallen gaat het erom de assen van het ene systeem uit te drukken in het andere.

De bovengenoemde stelsels hebben geen gemeenschappelijke oorsprong. Daartussen is een translatie, die voor de verdere behandeling van weinig belang is.

 
Bij de alibitransformatie gaat P over in P'; de assen blijven gelijk. Bij de aliastransformatie blijft P hetzelfde, maar worden de assen verplaatst
 
Rotation considered as a passive (alias) or active (alibi) transformation
 
Translation and rotation as passive (alias) or active (alibi) transformations

Alias- en alibitransformatie

bewerken

In de (driedimensionale) (euclidische) ruimte wordt het xyz-assenstelsel gevormd door de onderling loodrechte x-, y- en z-as die repectievelijk bepaald worden door de eenheidsvectoren

 

In praktische toepassingen bepalen de x- en y-as een horizontaal grondvlak.

Een ander stelsel, het XYZ-stelsel, wordt opgevat als een verplaatsing van het xyz-stelsel. Er wordt afgezien van een eventuele translatie van de oorsprong, zodat de verplaatsing neerkomt op een aantal rotaties. Het XYZ-stelsel wordt gevormd door het orthonormale (onderling loodrecht en van de lengte 1) stelsel basisvectoren:

 
 
 

die respectievelijk de X-, Y- en Z-as bepalen en dezelfde oorsprong hebben als het xyz-stelsel. Deze vectoren kunnen opgevat worden als eenheidsvectoren in het XYZ-stelsel.

De matrix B "heet" basistransformatie.

De matrix   is de getransponeerde van de matrix, die de basisvectoren in het XYZ-stelsel als rijen heeft.

De matrix "heet" coördinatentransformatie.

Het punt   in het xyz-stelsel heeft in het XYZ-stelsel de coördinaten  . Het geroteerde punt   in het xyz-stelsel heeft in het XYZ-stelsel de coördinaten  .

De overgang   naar   is een actieve transfromatie. Er geldt in het xyz-stelsel:

 

en ook in het XYZ-stelsel:

 

De overgang van de coördinaten   in het xyz-stelsel naar de coördinaten   in het XYZ-stelsel is een passieve transfromatie. Er geldt:

 
 

dus

 


Het xyz-stelsel wordt gedraaid naar het XYZ-stelsel dor de rotatie  . Dwz.

 
 
 
 
 
 

Actief

 

Passief, de basis wordt actief met   gedraaid:

 

dus ook

 

Als een punt passief gedraaid wordt met  , wordt het xyz-stelsel tegengesteld gedraaid, actief met  . [Is dit juist???]


Alibitransformatie

bewerken

Ook actieve transformatie. Een punt   in het xyz-stelsel wordt afgebeeld op het punt

 

Er geldt:

 

en heeft in het XYZ-stelsel dezelfde coordinaten als in het xyz-stelsel.

 
 

en

 
 

De matrix   beschrijft de actieve transformatie.

"Een geroteerd punt in hetzelfde stelsel".

Aliastransformatie

bewerken

Ook passieve transformatie geheten. Het xyz-stelsel wordt door   overgevoerd in het XYZ-stelsel. Een punt   in het xyz-stelsel wordt in het XYZ-stelsel gegeven door

 

dus

 
 
 
 

De matrix   beschrijft de passieve transformatie, maar wordt   of   zelf als de matrix van de passieve transformatie opgevat?

Aangezien   het put   transformeert, zou ik zeggen dat   de matrix van de passieve transformatie is.

"Hetzelfde punt in een geroteerd stelsel"

De verwarring ontstaat doordat niet duidelijk is wat een passieve rotatie in een bepaalde richting betekent. Mogelijkheden:

  1. de eenheidsvectorten worden in de tegenovergestelde richting geroteerd
  2. de eenheidsvectorten worden in de genoemde richting geroteerd

Voorbeeld

bewerken

Het tweedimensionale vlak wordt beschreven door punten   met kentallen  . Om het verschil tussen kentallen en coördinaten te benadrukken wordt een punt   met de coördinaten   tov de basis   weergegeven als

 

Met   geldt dus:

 

In matrixnotatie:

 
 

In 2 dimensies: het xy-stelsel is

 .

Een XY-stelsel door:

 

Een punt   wordt door de alibitrafo afgebeeld op het punt   met coördinaten 1 en 1 tov   en  . Het heeft de kentallen:

 

In matrixnotatie, met

 
 

Door de aliastrafo

 

worden de basisvectoren van een X'Y'-stelsel bepaald:

 

De coördinaten   van   t.o.v een X'Y'-stelsel zijn dus bepaald door:

 

waaruit:

 

Dus:

 
 

Dit zijn dezelfde getallen als de kentallen van het punt   bij de alibitrafo.

Gute Arbeit, Digamma!! Ich werde mich noch bemühen sämtliche Sachen zu überprüfen. Auf dem ersen lick finde ich es nur Schade dass sowohl bei einer aktiven Drehug als bei einer passiven Drehung die Notation (X,Y,Z) benutzt wird, die aber unterschiedene Bedeutung hat. Ich würde sagen: aktiv   (oder  ) wird mit der Matrix   gedreht, zu  ; passiv   bekommt mit der Matrix   neue Koordinate  ;

aktiv

 
 
 
 

passiv

 
 
 
 

Intermezzo

bewerken

Bij een schip spreekt men van

roll: slingeren om de lengteas
pitch: stampen om breedte-as
yaw: gieren, koersverandering om verticale as

Deze terminologie wordt ook gebruikt om de positie van het frame met de inclinometer aan te geven.


Het frame met de inclinometer is een "schip"

lengteas = X-as breedteas = Y-as verticale as = Z-as

hoeken t.o.v. "vaste" xyz-stelsel. Hoe??

Over rotaties.


xyz is vast stelsel; XYZ aan inclinometer. Rotaties in XYZ om de assen.

Om de Y-as: hoek pitch  ; de x-, y- en z-as worden in het XYZ-stelsel:

 

Vervolgens om de X-as: hoek roll  ; de x-, y- en z-as worden nu in het XYZ-stelsel verder afgebeeld op:

 

etc.

In het eigen stelsel kunnen de rotatiematrices met elkaar vermenigvuldigd worden.

Het resultaat geeft het xyz-stelsel tov de inclinometer.

Toepassing

bewerken

Voor een punt   dat afgebeeld wordt op het punt   met de alibitransformatie  , geldt:

 ,

waarin de matrix   als kolommen de beelden   van de basisvectoren   heeft.

Alternatief kunnen de coordinaten   bepaald worden met de aliastransformatie die   beschrijft t.o.v de basis  :

 

Er geldt:

 

IJking inclinomter

bewerken

Algemeen: inclinometer meet helling. Standaard in één richting. Twee-assige inclinometers meten de tilt, de afwijking van het grondvlak van de inclinometer van de horizontale stand. De hoek tussen z- en Z-as (eulerhoek  ) bepaalt de stand van het XY-vlak, maar nog niet de X-as. x loodrecht z-as, X loodrecht Z-as. Snijlijn N van xy met XY door O loodrecht z- en Z-as.

Als N bekend is en beta = hoek zOZ is de tilt bekend, dwz de stand van XOY tov xOy. N is gegeven door de eulerhoek   tussen x-as en N.

Onbekend is nog de eulerhoek gamma tusssem N en X-as

Rotatie T1 om X-as, rotatie T2 om Y-as; T2T1 is ongelijk aan T1T2. Want na T1 ligt Y in yz-vlak en blijft daar bij T2, maar X gaat buiten xz-vlak. Maar na T2 ligt X in xz-vlak en blijft daar bij T1, en gaat Y buiten yz-vlak.

Kennelijk is de standaard: yaw, pitch en roll. De rotaties toegepast in deze volgorde.

Van xyz naar XYZ:

rotatie om Z-as over yaw
rotatie om Y-as over pitch
rotatie om X-as over roll

in deze volgorde



Of (eenduidig): de inclinometer zou ook de hoeken   tussen X-as en xy-vlak, en   tussen Y-as en xy-vlak kunnen geven.

 
 

dan

 
 

Hoeken: pitch (stampen), roll (slingeren) en yaw (gieren)

voorwerp met assen X, Y en Z; vast aardegebonden stelsel: x, y en z; oorsprong gemeenschappelijk. X naar voren, Y opzij en Z omhoog. pitch: pi om Y roll: rho om X yaw: yps om Z



1. Op "vloer" is een aantal punten   uitgezet

2. De   worden met een total station nauwkeurig gemeten; het total station geeft de coördinaten

 

van de   in een aardgebonden xyz-stelsel met z-as verticaal.

3. Een inclinometer wordt op een frame geplaatst, dat het XYZ-stelsel (F) is. De X-as is de as van de inclinometer. Het grondvlak VI van de inclinometer is (//) het XY-vlak. Op het frame zijn punten   aangegeven. De punten   en   bepalen de X-as

 
 

De andere punten hebben de F-coördinaten

 

Daarmee zijn het XY-vlak en de as X-as;, en dus Y-as en Z-as bekend.

Stel de inclinometer horizontaal. Dan:

 
 

en

 

4. De inclinometer (met frame) wordt tussen de punten   geplaatst en horizontaal gesteld. daarna wordt met fotogrammetrie de relatie tussen de   en de   vastgesteld, en daarmme de  

5. In gebruik: De inclinometer geeft de hoeken  , 'roll', tussen z'n Y-as en de y-as in de horizontale stand en  , 'pitch', tussen z'n X-as en de x-as in horizontale stand. Daaruit laat zich de stand van z'n grondvlak t.o.v het horizontale vlak afleiden.

Voorbeeld

bewerken
 
 
 
 
 

Vlak VI gaat door:

 
 
 

Inclinometer geeft aan:

 
 

D.w.z.

de hoek tussen de X-as en de x-as is  
de hoek tussen de Y-as en de y-as is  

Eulerhoeken

bewerken

Verband met inclinometer

===============
bewerken

PARKER Maritime: Gang van zaken

6. Op zeebodem ligt de inclinometer en geeft de stand aan door de hoeken pi="pitch" en 'rho="roll". Deze hebben betrekking op de as F0F1*. (Is het vlak VI niet vervormd?)

7. Nu kan met pi en rho een horizontaal vlak H bepaald worden.

8. De hoek die de flens met H maakt wordt bepaald.

9. Er is ook een horizontaal vlak HD, bepaald met de dieptesensors. Dit is over grotere afstanden nauwkeuriger dan H.

10 De hoek om de z-as tussen de flenzen vind je tussen de projecties op HD.

Opmerkingen

bewerken

Verband roll en pitch met eulerhoeken.