Euclidische relatie

In de wiskunde is een euclidische relatie of euclidiciteit een tweeplaatsige relatie die voldoet aan een gewijzigde vorm van transitiviteit en die een formalsering inhoudt van de relatie die door Euclides is beschreven in het eerste axioma van De Elementen: 'Wat aan hetzelfde gelijk is, is ook aan elkaar gelijk.'

DefinitieBewerken

Een tweeplaatsige relatie   op een verzameling   heet euclidisch, ook wel rechts euclidisch, als voor alle   geldt: als   en  , dan is ook  .[1] Met woorden:

Als   in relatie staat tot   en ook tot  , dan staat   in relatie tot  .

Op dezelfde wijze heet de tweeplaatsige relatie   op   links euclidisch, als voor alle   geldt: als   en  , dan is ook  .

EigenschappenBewerken

Als uit   en   volgt in een rechts euclidische relatie, dat ook  , volgt daar dus ook uit dat  . Hetzelfde geldt ook voor een links euclidische relatie:   en  , dan ook   en  .

De eigenschap euclidisch verschilt van de eigenschap transitief. Er bestaan euclidische relaties die niet transitief zijn en andersom bestaan er ook transitieve relaties die niet euclidisch zijn. Voor symmetrische relaties komen euclidiciteit en transitiviteit echter overeen, hoewel er ook niet-symmetrische relaties zijn die zowel transitief als euclidisch zijn.

Een relatie die euclidisch en reflexief is, is ook symmetrisch en is daarom een equivalentierelatie.[1]