Euclidische relatie

In de wiskunde is een euclidische relatie of euclidiciteit een binaire relatie die voldoet aan een gewijzigde vorm van transitiviteit. Die relatie is door Euclides beschreven in "Gemeenschappelijke notie 1" in De Elementen: zaken die gelijk zijn aan hetzelfde ding zijn ook gelijk aan elkaar.

DefinitieBewerken

Een binaire relatie   op een verzameling   is euclidisch (ook wel genoemd rechts euclidisch) als die relatie de volgende eigenschap heeft:

  • Voor alle   geldt: als   de relatie   heeft met zowel   als met   dan heeft   de relatie   met  [1]

of iets eenvoudiger in woorden:

  • Als   in relatie staat tot   en tot  , dan staat   in relatie tot  .

Dit is als volgt te formuleren in de predicatenlogica:

 

Anderzijds, als   op   links euclidisch is, dan is voor alle  : als   de relatie   heeft met   en ook   heeft de relatie   met   dan heeft   de relatie   met  . Formeel:

 

Verband met transitiviteitBewerken

De eigenschap euclidisch verschilt van de eigenschap transitief. Alleen als een transitieve relatie ook symmetrisch is, dan is de relatie ook euclidisch en alleen een symmetrische euclidische relatie is ook transitief.

Een relatie die euclidisch en reflexief is, is ook symmetrisch en is daarom een equivalentierelatie.[1]