Dominerende verzameling

In de grafentheorie is een dominerende verzameling van een graaf een deelverzameling van de knopen waarmee elke knoop buiten de dominerende verzameling verbonden is.

Dominerende verzamelingen zijn aangegeven door roodgekleurde knopen. (a) en (b) zijn onafhankelijke dominerende verzamelingen. (a) is geen minimale dominerende verzameling, (b) en (c) wel.

Definitie

Voor een graaf $G=(V,E)$ heet een deelverzameling $D$ van de knopenverzameling $V$ een dominerende verzameling, als elke knoop die geen element is van $D$ verbonden is met minstens één element van $D.$

Het dominantiegetal $\gamma (G)$ van de graaf is het aantal knopen in de kleinst mogelijke dominerende verzameling voor $G.$

Eigenschappen

• Een dominerende verzameling is niet leeg, tenzij de graaf zelf leeg is.
• De verzameling van alle knopen is trivialerwijze een dominerende verzameling.
• In een bipartiete graaf is het dominantiegetal gelijk aan het aantal bogen in een maximumkoppeling. (stelling van König).

Onafhankelijke verzameling

Een deelverzameling $S$ van de knopenverzameling $V$ heet onafhankelijk, als geen twee knopen in $S$ met elkaar verbonden zijn.

Het onafhankelijkheidsgetal $\beta (G)$ is de maximale cardinaliteit van een onafhankelijke verzameling in $G.$

Aangezien een maximale onafhankelijke verzameling in $G$ steeds een dominerende verzameling is, geldt voor elke graaf $G$:

$\gamma (G)\leq \beta (G)$

Totale dominerende verzameling

Een deelverzameling $D$ van $V$ is een totale dominerende verzameling wanneer elke knoop in $V$ (dus ook de knopen in $D$) verbonden is met een element in $D.$ De minimale cardinaliteit van alle totale dominerende verzamelingen is het totale dominantiegetal $\gamma _{t}(G).$ Een totale dominerende verzameling heeft geen geïsoleerde knopen. In de figuur is enkel (c) een voorbeeld van een totale dominerende verzameling.

Verband met knopenbedekking

Elke knopenbedekking is een dominerende verzameling. Het omgekeerde is niet waar; in de figuur hiernaast is geen enkele van de dominerende verzamelingen een knopenbedekking, want er zijn steeds kanten in de graaf die geen eindpunt in de dominerende verzameling hebben.

Complexiteit

Het beslissingsprobleem om voor een gegeven graaf $G$ en gegeven natuurlijk getal $k$ te beslissen of er een dominerende verzameling bestaat met hoogstens $k$ knopen is NP-volledig. $k$ is strikt kleiner dan het aantal knopen in de graaf.

Van meer belang is het probleem om een minimale dominerende verzameling, en dus het dominantiegetal, te vinden voor een graaf. Dit is een NP-moeilijk probleem.