Continuïteitsvergelijking

Een continuïteitsvergelijking is een vergelijking in de natuurkunde die het behoud van een bepaalde grootheid uitdrukt. Typische behouden grootheden die voldoen aan een continuïteitsvergelijking, zijn massa en lading.

Vorm van de vergelijkingBewerken

Een continuïteitsvergelijking is van de vorm

 ,

vaak verkort weergegeven als

 

Daarin is   de ruimtelijke dichtheid van de behouden grootheid die afhangt van de ruimtelijke coördinaten   en de tijd  . De vectorgrootheid   is een stroomgrootheid.

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat (onder natuurlijke voorwaarden) de bovenstaande vergelijking impliceert dat de grootheid

 

niet afhangt van de tijd, dus dat   eigenlijk een constante   is. Anders uitgedrukt:

 

De continuïteitsvergelijking is dus inderdaad een behoudsvergelijking.

VoorbeeldenBewerken

Behoud van massaBewerken

In bijna alle fysische systemen is de totale massa behouden. Dit wordt uitgedrukt als volgt:

 

Hierin is   de massadichtheid en   de lokale snelheid van het medium.

Bovenstaande vergelijking impliceert dat de totale massa

 

behouden wordt (niet verandert in de loop van de tijd).

Behoud van ladingBewerken

Een andere grootheid die behouden wordt, is lading. Daarvoor geldt eenzelfde vergelijking:

 

Hierin heeft   nu de betekenis van ladingsdichtheid.

De bovenstaande vergelijking drukt dan ook uit dat de totale elektrische lading behouden is:

 

hangt immers niet af van de tijd.

RelativiteitstheorieBewerken

In de relativiteitstheorie vormen de objecten   en   één enkel object, een viervector. Deze wordt typisch genoteerd als  , waarbij de index   loopt van 0 tot 3 . De component met index 0 is  . Ook de afgeleiden   en   vormen in de relativiteitstheorie één object,  . De continuïteitsvergelijking neemt dan de volgende bijzonder eenvoudige en elegante vorm aan:

 

In deze vergelijking is de Einstein-sommatieconventie verondersteld.

Zie ookBewerken