Constante van Apéry

In de wiskunde, is de constante van Apéry, aangeduid als $\zeta {(3)}$, een wiskundige constante met de waarde ζ(3).

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
Verschillende representaties van ζ(3)
binair	1,0011 0011 1011 1010…
decimaal	1,20205 69031 59594 2854…
hexadecimaal	1,33BA 004F 0062 1383…
kettingbreuk	$1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}$ Merk op dat deze kettingbreuk oneindig is. Maar het is onbekend of deze kettingbreuk periodiek is of niet.

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right)=1,20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots$

In 1979 bewees Roger Apéry de irrationaliteit van ζ(3), het is echter niet bekend of het getal ook transcendent is. De constante wordt onder andere toegepast in de fysica.

Reeksontwikkeling

In 1772 gaf de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler de reeks de reeksontwikkeling

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)$

Andere reeksontwikkelingen zijn onder andere

${\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}\\\zeta (3)&={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}\end{aligned}}$

Bronnen, noten en/of referenties