Stelling van Midy

De stelling van Midy is een stelling uit de getaltheorie, genoemd naar de Franse wiskundige Étienne Midy, die ze in 1836 publiceerde.

De stelling zegt:

Indien de decimale expansie van een niet-vereenvoudigbare breuk een repeterend gedeelte heeft dat bestaat uit een even aantal cijfers , dan is de som van de twee helften van dat repeterende gedeelte gelijk aan (een getal met enkel negens) indien:

  • ofwel een priemgetal is;
  • ofwel een macht van een priemgetal is;
  • ofwel de grootste gemene deler van en gelijk is aan 1.

VoorbeeldenBewerken

De volgende breuken zijn niet vereenvoudigbaar en hebben een repeterend gedeelte met een even aantal cijfers.

5/13 = 0,384615384615...

met repeterend gedeelte "384615" en inderdaad is 384 + 615 = 999

2/17 = 0,117647058823529411764...

met repeterend gedeelte "1176470588235294" en 11764705 + 88235294 = 99999999

2/77 = 0,0259740259740...

met repeterend gedeelte "259740" en 259 + 740 = 999

In het laatste geval gaat de stelling op omdat de grootste gemene deler van 77 en 1000−1=999 gelijk is aan 1.

De stelling in andere talstelselsBewerken

De stelling gaat ook op in talstelsel met een ander grondtal: als de breuk in het talstelsel met grondtal   een repeterend gedeelte heeft met even lengte, is de som van de twee helften een getal met enkel een aantal malen het cijfer  . Zo is in het octale stelsel:

1/19 = 0,032745032745...8

met repeterend gedeelte "032745"8
en (octaal) 0328 + 7458 = 7778