Topologische groep: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Spelling |
k klein spul |
||
Regel 17:
* Veronderstel dat ''(G,*)'' een willekeurige groep is, zonder enige topologische structuur. Dan kunnen we de [[discrete topologie]] op ''G'' leggen. Dit is de topologie die er voor zorgt dat elke afbeelding continu is. In het bijzonder zullen de groepsbewerkingen ook continu zijn en we hebben dus een topologische groep. Topologische groepen die de discrete topologie dragen, worden dan de '''discrete topologische groepen''' genoemd. De gehele getallen voorzien van de optelling en de discrete topologie vormen zo een discrete groep.
Merk ook op dat een zelfde groep verschillende topologische structuren kan dragen en dus in principe aanleiding kan geven tot veel verschillende topologische groepen. Veronderstel bijvoorbeeld dat de groep ''(R,+)'', de
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''H'' een deelgroep is van ''G''. Indien ''H'' voorzien wordt van de [[deelruimtetopologie]] ''T|<sub>H</sub>'', dan is ''(H,T|<sub>H</sub>,*)'' een topologische groep.
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''N'' een [[Normaaldeler|normale deelgroep]] van ''G'' is. Indien de [[Factorgroep|quotientgroep]] ''G/N'' van ''G'' door ''N'' voorzien wordt van de [[quotiënttopologie]] ''T<sub>G/N</sub>'', dan is dit een topologische groep. Om te garanderen dat de
== Morfismen ==
Regel 29:
* Een '''isomorfisme''' van een topologische groep ''(G,T<sub>G</sub>,*)'' met een topologische groep ''(H,T<sub>H</sub>,.)'' is een morfisme van topologische groepen zodanig dat er een invers morfisme van topologische groepen bestaat. Concreet betekent dit: een [[isomorfisme]] van groepen dat tegelijkertijd een [[homeomorfisme]] van topologische ruimten is.
Beschouw nogmaals de twee voorbeelden van hierboven: ''(R,+)'' en ''(R<sub>0</sub>,*)'', met de evidente topologieen. De [[exponentieel|
== Eigenschappen ==
In een topologische groep zijn de topologische en de
* De [[samenhang|samenhangende component]] die het [[neutraal element|neutrale element]] bevat, is een normale deelgroep die zelfs gesloten is.
|