Topologische groep: verschil tussen versies

6 bytes toegevoegd ,  14 jaar geleden
k
klein spul
(Spelling)
k (klein spul)
* Veronderstel dat ''(G,*)'' een willekeurige groep is, zonder enige topologische structuur. Dan kunnen we de [[discrete topologie]] op ''G'' leggen. Dit is de topologie die er voor zorgt dat elke afbeelding continu is. In het bijzonder zullen de groepsbewerkingen ook continu zijn en we hebben dus een topologische groep. Topologische groepen die de discrete topologie dragen, worden dan de '''discrete topologische groepen''' genoemd. De gehele getallen voorzien van de optelling en de discrete topologie vormen zo een discrete groep.
 
Merk ook op dat een zelfde groep verschillende topologische structuren kan dragen en dus in principe aanleiding kan geven tot veel verschillende topologische groepen. Veronderstel bijvoorbeeld dat de groep ''(R,+)'', de reelereële rechte van hierboven, is. Dan is dit zoals vermeld een topologische groep voor de standaardtopologie. Indien we echter de discrete topologie op ''(R,+)'' leggen, verkrijgen we zoals net vermeld werd, ook een topologische groep. Deze objecten worden niet als equivalente topologische groepen beschouwd hoewel de onderliggende groepen duidelijk gelijk zijn. Voor de definitie van equivalentie, zie hieronder. Tenzij het duidelijk is welke topologie er op de groep ''(G,*)'' ligt, is het aangeraden ook de topologie ''T'' in de notatie te vermelden: ''(G,T,*)''.
 
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''H'' een deelgroep is van ''G''. Indien ''H'' voorzien wordt van de [[deelruimtetopologie]] ''T|<sub>H</sub>'', dan is ''(H,T|<sub>H</sub>,*)'' een topologische groep.
 
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''N'' een [[Normaaldeler|normale deelgroep]] van ''G'' is. Indien de [[Factorgroep|quotientgroep]] ''G/N'' van ''G'' door ''N'' voorzien wordt van de [[quotiënttopologie]] ''T<sub>G/N</sub>'', dan is dit een topologische groep. Om te garanderen dat de quotientgroepquotiëntgroep redelijke topologische eigenschappen heeft, wordt er vaak aangenomen dat de normale deelgroep ook [[Gesloten verzameling|gesloten]] is.
 
== Morfismen ==
* Een '''isomorfisme''' van een topologische groep ''(G,T<sub>G</sub>,*)'' met een topologische groep ''(H,T<sub>H</sub>,.)'' is een morfisme van topologische groepen zodanig dat er een invers morfisme van topologische groepen bestaat. Concreet betekent dit: een [[isomorfisme]] van groepen dat tegelijkertijd een [[homeomorfisme]] van topologische ruimten is.
 
Beschouw nogmaals de twee voorbeelden van hierboven: ''(R,+)'' en ''(R<sub>0</sub>,*)'', met de evidente topologieen. De [[exponentieel|exponentieleexponentiële afbeelding]] van de eerste topologische groep naar de tweede, is een continu morfisme van groepen. De [[logaritme|logaritmische afbeelding]] van de tweede naar de eerste, is ook een continu morfisme van groepen. Bovendien zijn deze exponentieleexponentiële en logaritmische afbeeldingen elkaars inverse. In het bijzonder hebben we te maken met isomorfismen van topologische groepen.
 
== Eigenschappen ==
 
In een topologische groep zijn de topologische en de algebraischealgebraïsche structuren compatibel. Het is dus te verwachten dat ze elkaar gaan beinvloedenbeïnvloeden, en dit is ook zo. Beschouw bijvoorbeeld de volgende elementaire eigenschappen van topologische groepen:
 
* De [[samenhang|samenhangende component]] die het [[neutraal element|neutrale element]] bevat, is een normale deelgroep die zelfs gesloten is.
21.000

bewerkingen