Topologische groep: verschil tussen versies

847 bytes toegevoegd ,  14 jaar geleden
Eigenschappen
k (robot Erbij: ko:위상군)
(Eigenschappen)
 
== Constructies ==
 
Merk eerst en vooral op dat er een manier bestaat om elke gegeven groep aan te vullen tot een topologische groep,
 
* Veronderstel dat ''(G,*)'' een willekeurige groep is, zonder enige topologische structuur. Dan kunnen we de [[discrete topologie]] op ''G'' leggen. Dit is de topologie die er voor zorgt dat elke afbeelding continu is. In het bijzonder zullen de groepsbewerkingen ook continu zijn en we hebben dus een topologische groep. Topologische groepen die de discrete topologie dragen worden dan de '''discrete topologische groepen''' genoemd. De gehele getallen voorzien van de optelling en de discrete topologie vormen zo een discrete groep.
 
Merk ook op dat een zelfde groep verschillende topologische structuren kan dragen en dus in principe aanleiding kan geven tot veel verschillende topologische groepen. Veronderstel bijvoorbeeld dat de groep ''(R,+)'', de reele rechte van hierboven, is. Dan is dit zoals vermeld een topologische groep voor de standaardtopologie. Indien we echter de discrete topologie op ''(R,+)'' leggen, verkrijgen we zoals net vermeld werd, ook een topologische groep. Deze objecten worden niet als equivalente topologische groepen beschouwd hoewel de onderliggende groepen duidelijk gelijk zijn. Voor de definitie van equivalentie, zie hieronder. Tenzij het duidelijk is welke topologie er op de groep ''(G,*)'' ligt, is het aangeraden ook de topologie ''T'' in de notatie te vermelden: ''(G,T,*)''.
 
* Veronderstel dat ''(G,T,*)'' een topologische groep is en dat ''H'' een deelgroep is van ''G''. Indien ''H'' voorzien wordt van de [[deelruimtetopologie]] ''T|<sub>H</sub>'', dan is ''(H,T|<sub>H</sub>,*)'' een topologische groep.
 
* Een '''isomorfisme''' van een topologische groep ''(G,T<sub>G</sub>,*)'' met een topologische groep ''(H,T<sub>H</sub>,.)'' is een morfisme van topologische groepen zodanig dat er een invers morfisme van topologische groepen bestaat. Concreet betekent dit: een [[isomorfisme]] van groepen dat tegelijkertijd een [[homeomorfisme]] van topologische ruimten is.
 
== Eigenschappen ==
 
In een topologische groep zijn de topologische en de algebraische structuren compatibel. Het is dus te verwachten dat ze elkaar gaan beinvloeden, en dit is ook zo. Beschouw bijvoorbeeld de volgende elementaire eigenschappen van topologische groepen:
 
* De samenhangende component die het neutrale element bevat, is een normale deelgroep die zelfs gesloten is.
 
* Topologische groepen zien er in elk punt hetzelfde uit: elke translatie geeft een homeomorfisme van de groep. (Indien de groep niet abels is, hoeven de linker en de rechter translaties niet overeen te komen.) Ook de inversie geeft een homeomorfisme van de groep met zichzelf.
 
* Voor topologische groepen is de fundamentaalgroep altijd abels.
 
== Zie ook ==