Kansdichtheid: verschil tussen versies

51 bytes toegevoegd ,  16 jaar geleden
herziening
(herschikkimg)
(herziening)
Een [[contininuecontinue stochastische variabele]] ''X'' neemt geen enkele waarde aan met positieve kans. Hier geldt dus:
 
:<math>Pr(X=x)=0</math> voor alle x.
 
Omdat de [[verdelingsfunctie]] <math>F_X</math> in zo'n geval (bijna overal) differentieerbaar is, kunnen we deze vastleggen door z'n [[afgeleide]] <math>f_X</math>, die de '''kansdichtheid''' van ''X'' genoemd wordt.
 
:<math>f_{X}(x) = \frac{\rm d}{{\rm d}x} F_{X}(x)</math>.
 
 
==Achtergrond==
 
[[Discrete stochastische variabele]]n, die hoogstens aftelbaar veel waarden kunnen aannemen, komen in praktische situaties veelvuldig voor. Soms is het gemakkelijker stochastische variabelen toe te laten die overaftelbaar veel waarden kunnen aannemen, bijvoorbeeld alle waarden in een interval. Het is de vraag of zulke variabelen in de praktijk kunnen voorkomen, maar als model en benadering van de werkelijkheid zijn zij zeer praktisch. Een manier om de verdeling van zulke contimue stochastische variabelen vast te leggen is door middel van een functie die de verdeling van de totale kans weergeeft, dus een niet-negatieve functie met totale [[integraal]] 1, kansdichtheid genaamd.
 
De functie f(x) waarover geintegreerd wordt heet de '''kansdichtheid'''. Een voorbeeld is een variable ''X'' met uniforme verdeling tussen 0 en 1. De variable kan alle waarden tussen x= 0 en x=1 bereiken en iedere uitkomst is even waarschijnlijk. Dat wil zeggen dat f(x) tussen 0 en 1 constant is en daarbuiten nul.
===Kansdichtheid===
 
In de toepassing van de kansrekening is het echter vaak zo dat het aantal mogelijke uitkomsten oneindig groot is. In dat geval is de kans op een individuele uitkomst altijd oneindig klein, dat wil zeggen nul. Meestal vormen de uitkomsten een continuum, bijvoorbeeld alle getallen tussen x= 0 en x=1. Men spreekt dan over continue verdelingen.
 
Om toch te kunnen voldoen aan de eis dat alle uitkomsten samen een kans p=1 moeten opleveren kunnen we niet langer volstaan met eenvoudig de individuele kansen op te tellen maar moeten we een [[integraal|integratie]] uit voeren.
 
De functie f(x) waarover geintegreerd wordt heet de '''kansdichtheid'''. Een voorbeeld is een variable X met uniforme verdeling tussen 0 en 1. De variable kan alle waarden tussen x= 0 en x=1 bereiken en iedere uitkomst is even waarschijnlijk. Dat wil zeggen dat f(x) tussen 0 en 1 constant is en daarbuiten nul.
 
::: 0<x<1 f(x)= c
3.498

bewerkingen