Machtreeks: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →Reële machtreeksen: Verbetering aan de hand van Wikipedia:Wikiproject/Check Wikipedia met AWB |
k Typefout Labels: Visuele tekstverwerker Bewerking via mobiel Bewerking via mobiele website |
||
Regel 23:
In het tweede geval wordt het interval het convergentie-interval genoemd. De convergentie of divergentie in de grenspunten van dat interval kan dan nagegaan worden door de grenzen in de te vullen in de machtreeeks waardoor een gewone reeks ontstaat. In het derde geval is het convergentie-interval de volledige reële as. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de [[Taylorreeks]]en van de [[sinus en cosinus|sinusfunctie]], [[sinus en cosinus|cosinusfunctie]] of de [[exponentiële functie]].
De '''afgeleide machtreeks''' ontstaat door de oorspronkelijke machtreeks af te leiden naar haar variabele <math>x</math>. Afleiden naar de index <math>n</math> heeft geen zin omdat de reeks als geheel geen functie van <math>n</math> is maar enkel van <math>x</math>. En zelfs moest de reeks afhangen van <math>n</math> zou ze toch niet naar <math>n</math> kunnen worden
:<math>\sum_1 nu_n(x-a)^{n-1}</math>
De afgeleide machtreeks convergeert altijd zeker in het open interval van de oorspronkelijke reeks. Indien de oorspronkelijke reeks convergeert in een grenspunt van haar convergentie-interval kan het zijn dat dit niet meer het geval is voor de afgeleide reeks. In grenspunten waar de oorspronkelijke reeks convergeert moet de convergentie van de afgeleide reeks dus opnieuw nagegaan worden. Dit gebeurt door de desbetreffende grens in te vullen in de afgeleide machtreeks waardoor een gewone reeks ontstaat. Indien de oorspronkelijke machtreeks divergeert in een grenspunt van haar convergentie-interval bestaat de reeks daar in feite niet en kan dus ook de afgeleide reeks niet bestaan en ook niet convergeren.
| |||