Machtreeks: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Wijzigingen door 85.145.29.255 (Overleg) hersteld tot de laatste versie door Texvc2LaTeXBot |
Toevoeging van een paragraaf over zuiver reële (ipv complexe) machtreeksen gezien hun belang in de toegepaste wiskunde. |
||
Regel 13:
# een open cirkelschijf rondom 0.
De [[convergentiestraal]] van de machtreeks is de straal van de open cirkelschijf (oneindig in geval 1, nul in geval 2). In geval 1 representeert de machtreeks een [[gehele functie]].
== Reële machtreeksen ==
Een [[reëel getal|reële]] machtreeks heeft de vorm
:<math>\sum_0u_n(x-a)^n</math>
waarbij het punt <math>a</math> waarrond de machtreeks ontwikkeld wordt, de variabele <math>x</math> en de termen <math>u_n</math> reëel zijn. In dat geval [[convergentie|convergeert]] de reeks hetzij:
*Enkel in het punt <math>a</math>
*In een [[interval (wiskunde)|interval]] waarvan <math>a</math> het middelpunt is. In dat geval kunnen de grenzen van het interval al dan niet open of gesloten zijn.
*Voor alle waarden van <math>x</math>
In het tweede geval wordt het interval het convergentie-interval genoemd. De convergentie of divergentie in de grenspunten van dat interval kan dan nagegaan worden door de grenzen in de te vullen in de machtreeeks waardoor een gewone reeks ontstaat. In het derde geval is het convergentie-interval de volledige reële as. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de [[Taylorreeks|Taylorreeksen]] van de [[sinus en cosinus|sinusfunctie]], [[sinus en cosinus|cosinusfunctie]] of de [[exponentiële functie|exponentiële functie]].
De '''afgeleide machtreeks''' ontstaat door de oorspronkelijke machtreeks af te leiden naar haar variabele <math>x</math>. Afleiden naar de index <math>n</math> heeft geen zin omdat de reeks als geheel geen functie van <math>n</math> is maar enkel van <math>x</math>. En zelfs moest de reeks afhangen van <math>n</math> zou ze toch niet naar <math>n</math> kunnen worden afgeled omdat <math>n</math> geen reële maar een [[natuurlijk getal|natuurlijke]] variabele is. De afgeleide reeks is dus
:<math>\sum_1 nu_n(x-a)^{n-1}</math>
De afgeleide machtreeks convergeert altijd zeker in het open interval van de oorspronkelijke reeks. Indien de oorspronkelijke reeks convergeert in een grenspunt van haar convergentie-interval kan het zijn dat dit niet meer het geval is voor de afgeleide reeks. In grenspunten waar de oorspronkelijke reeks convergeert moet de convergentie van de afgeleide reeks dus opnieuw nagegaan worden. Dit gebeurt door de desbetreffende grens in te vullen in de afgeleide machtreeks waardoor een gewone reeks ontstaat. Indien de oorspronkelijke machtreeks divergeert in een grenspunt van haar convergentie-interval bestaat de reeks daar in feite niet en kan dus ook de afgeleide reeks niet bestaan en ook niet convergeren.
Voorbeeld:
:<math>\sum_0\frac{2^n}{n^2+3}(x-5)^n</math>
Met het uitgebreid [[kenmerk van d'Alembert|convergentiecriterium van d'Alembert]] kan het convergentie-interval bepaald worden:
:<math>\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|</math> = <math>\lim_{n\to\infty} \left|\frac{2^{n+1}(x-5)^{n+1}}{n^2+2n+4} \frac{n^2+3}{2^n(x-5)^n}\right| </math>
Na vereenvoudiging, en gezien de factoren in <math>(x-5)</math> onafhankelijk zijn van <math>n</math> en dus buiten de limiet kunnen geplaatst worden wordt dit:
:<math>\left|x-5\right| \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2(n^2+3)}{n^2+2n+4}\right| </math> = <math> 2\left|x-5\right|</math>
Volgens het [[kenmerk van d'Alembert|criterium van d'Alembert]] is een reeks convergent indien deze limietwaarde strikt kleiner is dan 1, en divergent als de waarde strikt groter is dan 1.
De reeks is dus convergent als:
:<math>2\left|x-5\right| < 1</math>
dus als
:<math>\frac{9}{2}<x<\frac{11}{2}</math>
en divergent als
:<math>x<\frac{9}{2}\ </math> of <math>\ \frac{11}{2}<x</math>
De convergentie of divergentie is de grenspunten wordt nagegaan door deze grenzen in te vullen in de machtreeks:
:in <math>x = \frac{9}{2}\ </math> : <math>\ \sum_0 \frac{(-1)^n}{n^2+3}</math>
:in <math>x = \frac{11}{2}\ </math> : <math>\ \sum_0 \frac{1}{n^2+3}</math>
Beide reeksen zijn convergent, de eerste wegens het criterium van Leibniz, de tweede omdat de [[p-reeks (wiskunde)|p-reeks]] <math>\sum_0 \frac{1}{n^2}</math> een [[vergelijkingstest|convergente majorante reeks]] is.
Het convergentie-interval van de machtreeks is dus
:<math>[\frac{9}{2},\frac{11}{2}]</math>
De afgeleide machtreeks is
:<math>\sum_1\frac{n2^n}{n^2+3}(x-5)^{n-1}</math>
Deze convergeert dus zeker in het open interval. De eventuele convergentie in de grenspunten dient opnieuw nagegaan te worden:
:in <math>x = \frac{9}{2}</math> : <math>\sum_1 \frac{2n(-1)^{n-1}}{n^2+3}</math>
:in <math>x = \frac{11}{2}</math> : <math>\sum_1 \frac{2n}{n^2+3}</math>
Van deze twee reeksen is de eerste convergent, opnieuw wegens het criterium van Leibniz. De tweede is divergent wat volgt uit de [[limietvergelijkingstest|limietvergelijkingstest]] met de divergente reeks <math>\sum_1 \frac{1}{n}</math> als vergelijkende reeks.
Het convergentie-interval van de afgeleide machtreeks is dus
:<math>[\frac{9}{2},\frac{11}{2}[</math>
== Taylorreeksen ==
| |||