Isomorfisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 27:
==Voorbeelden==
* Een isomorfisme tussen twee [[metrische ruimte]]n heet een [[Isometrie (wiskunde)|isometrie]].
* De isomorfismen tussen twee [[affiene euclidische ruimte]]n zijn de isometrieën met betrekking tot de bij de affiene euclidische ruimte behorende metriek. Ze bestaan alleen bij gelijke [[Dimensie (lineaire algebra)|dimensie]].
* De isomorfismen tussen twee [[euclidische vectorruimte]]n zijn slechts de isometrieën met de oorsprong als dekpunt. Ze bestaan alleen bij gelijke dimensie.
* Beschouw een tweedimensionale (reële of complexe) [[vectorruimte]] <math>V</math>. Definieer de afbeelding van <math>V</math> naar zichzelf die alle vectoren met een vaste factor twee vermenigvuldigt. Dan is deze afbeelding een morfisme van de vectorruimte <math>V</math> naar zichzelf. Het inverse morfisme is hier het morfisme dat alle vectoren door twee deelt. In het bijzonder hebben we te maken met een isomorfisme van vectorruimten. Als het echter euclidische vectorruimten zijn dan zijn ze in die hoedanigeheid niet isomorf, want daar zijn het [[inwendig product]] en de daarvan afgeleide [[Norm (wiskunde)|norm]] onderdeel van de structuur.
* Beschouw de volgende groepen: de groep van de positieve reële getallen voorzien van de vermenigvuldiging enerzijds, en de groep van alle reële getallen voorzien van de optelling anderzijds. Dan is de [[logaritme|logaritmische functie]] van de eerste groep naar de tweede groep, een isomorfisme van groepen. Het inverse morfisme is in dit geval de welbekende [[exponentiële functie]]. Bovendien zijn de twee morfismen ook [[Continue functie (analyse)|continu]] (voor de evidente topologieën). In het bijzonder hebben we dus isomorfismen van [[topologische groep]]en.
| |||