Tetrahedrale en octahedrale symmetrie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
een begin |
|||
Regel 17:
T<SUB>h</SUB>, T<SUB>d</SUB> en O<SUB>h</SUB> hebben verder ook spiegelvlakken.
Van de drie symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 zonder assen van hogere orde corresponderen er twee met ''tetrahedrale symmetrie'' (volledige versie <math>T_d</math> en chirale versie <math>T</math>). De orde is 24, resp. 12. <math>T_d</math> is de symmetrie van het [[viervlak]] en een [[archimedisch lichaam]], de [[afgeknotte tetraëder]]. <math>T_d</math> is algebraïsch de [[symmetrische groep]] <math>S_4</math>, want de elementen van <math>T_d</math> komen 1-op-1 overeen met de permutaties van de 4 hoekpunten. <math>T</math> is algebraïsch de [[alternerende groep]] <math>A_4</math>, want de elementen van <math>T</math> komen 1-op-1 overeen met de even permutaties van de 4 hoekpunten. De derde, <math>T_h</math>, is ''pyritohedrale symmetrie'', dit is de symmetrie van een kubus met op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken. De orde is 24. <math>T_h = T \oplus C_i</math> en dus algebraïsch <math>A_4 \times C_2</math>. De groep <math>T</math> is niet alleen de chirale versie van <math>T_d</math> maar ook van <math>T_h</math>.
De twee symmetriegroepen met assen van rotatiesymmetrie van orde 3 en assen van orde 4 corresponderen met ''octahedrale symmetrie'' (volledige versie <math>O_h</math> en chirale versie <math>O</math>). De orde is 48, resp. 24. <math>O_h</math> is de symmetrie van de [[kubus (ruimtelijke figuur)|kubus]], de [[octaëder]] en vijf [[Archimedisch lichaam|archimedische lichamen]]. Twee archimedische lichamen, namelijk de beide versies van de [[stompe kubus]], zijn chiraal met <math>O</math> als totale symmetriegroep. <math>O</math> is algebraïsch de [[symmetrische groep]] <math>S_4</math>, waarbij de elementen 1-op-1 overeenkomen met de permutaties van de lichaamsdiagonalen van de kubus, .<ref>https://math.stackexchange.com/questions/2292346/find-a-group-of-rotation-of-a-cube</ref> <math>O_h = O \oplus C_i</math> en dus algebraïsch <math>S_4\times S_2</math>. Naast <math>O</math> zijn ook <math>T_d</math> en <math>T_h</math> (en dus <math>T</math>) subgroepen van <math>O_h</math>. De groep <math>T</math> is een subgroep van O. De groepen <math>O_h</math>, <math>O</math>, <math>T_d</math>, <math>T_h</math> en <math>T</math> zijn de symmetriegroepen van de kubus met:
*voor <math>O_h</math> blanco zijden
*voor <math>O</math> op elk zijvlak dezelfde chirale figuur met rotatiesymmetrie van orde 4
*voor <math>T_d</math> op elk zijvlak een diagonaal zo dat die samen een tetraëder vormen
*voor <math>T_h</math> op elk zijvlak een lijnstuk dat de middens van twee tegenover elkaar liggende zijden verbindt, zodanig dat zulke lijnstukken elkaar niet raken
*voor <math>T</math> zowel het bij <math>T_d</math> als <math>T_d</math> genoemde
==Zie ook==
* [[Puntgroep]]
* [[Symmetriegroep van de kubus]]
{{Appendix}}
| |||