Kurt Gödel: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Kurt heette Gödel |
|||
Regel 45:
# Als het systeem consistent is, kan het niet volledig zijn. (Dat is gewoonlijk bekend als ''de'' [[onvolledigheidsstelling]].)
# De consistentie van de [[axioma]]’s kan niet bewezen worden binnen het systeem.
Deze stellingen maakten een eind aan een halve eeuw van inspanningen door wiskundigen om een verzameling axioma’s te ontdekken die voor de hele wiskunde zouden voldoen, te beginnen met het werk van [[Gottlob Frege]] en culminerend in [[Alfred North Whitehead]] en [[Bertrand Russell]]s [[Principia Mathematica]] en [[Formalisme (wiskunde)|Hilberts formalisme]]. Gödel bewees dat deze speurtocht achteraf gezien zinloos was, althans in de zin om het beoogde doel te bereiken, hoewel er ook belangrijke nieuwe wiskunde ontwikkeld werd door de deelnemende wiskundigen. De onvolledigheidsstellingen houden ook in dat niet alle wiskundige vraagstukken berekenbaar zijn en sommige dus altijd open zullen blijven.
Achteraf is het oorspronkelijke idee, dat de kern vormt van de onvolledigheidsstelling, vrij eenvoudig. In wezen construeerde Gödel een formule die stelt dat zij in een gegeven formeel systeem onbewijsbaar is. Als zij bewijsbaar zou zijn, zou zij vals zijn, wat in tegenspraak is met het feit dat in een consistent systeem bewijsbare beweringen altijd waar zijn. Daarom zal er altijd minstens een ware, maar onbewijsbare bewering bestaan. Dat wil zeggen voor elke berekenbaar aftelbare axiomaverzameling voor de rekenkunde (dat wil zeggen een verzameling die in principe geprint kan worden door een geïdealiseerde computer met onbeperkte hulpbronnen), bestaat er een formule die geldig is in de rekenkunde, maar in dat systeem niet bewijsbaar is. Om dat kloppend te maken moest Gödel echter verschillende technische kwesties oplossen, zoals coderingssystemen, bewijzen en het idee van de bewijsbaarheid bij [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]]. Hij deed dat met gebruikmaking van het procedé dat bekendstaat als [[Gödelnummer]]ing.
| |||