Compacte ruimte: verschil tussen versies

In de [[topologie|algemene- en metrische topologie]], deelgebieden binnen de [[wiskunde]], is een '''compacte ruimte''' een abstracte wiskundige [[ruimte (wiskunde)|ruimte]], waarin indien men, intuïtief gesproken, een [[oneindige verzameling|oneindig]] aantal "stappen" in deze ruimte doet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij enige ander punt in deze ruimte kan komen. Een [[gesloten verzameling|gesloten-]] en [[Begrensdheid|begrensde]] [[deelverzameling]] (zoals een [[interval (wiskunde)|gesloten interval]] van een [[rechthoek]]) van een [[Euclidische ruimte]] is dus compact, omdat iemands stappen uiteindelijk wel gedwongen uitkomen in de buurt van een punt van de verzameling, een resultaat dat bekendstaat als de [[stelling van Bolzano-Weierstrass]], terwijl de Euclidische ruimte zelf geen compacte ruimte is, dit omdat men oneindig veel gelijkmatige stappen in enige gegeven richting kan zetten zonder ooit heel dicht in de buurt te komen van enig ander punt van de ruimte.

Typische voorbeelden van compacte ruimten zijn, afgezien van de gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte, ruimten die niet uit [[meetkunde|meetkundige]] [[punt (meetkunde)|punt]]en, maar uit [[functieruimte]]n bestaan. De term ''compact'' werd in 1906 door [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] in de wiskunde geïntroduceerd als een distillatie van dit concept. Compactheid in deze meer algemene zin speelt een uiterst belangrijke rol in de [[wiskundige analyse]], omdat veel klassieke en belangrijke stellingen uit de 19e-eeuwse analyse, zoals de [[extremumstelling|extreme waardestelling]], eenvoudig naar deze situatie veralgemeend kunnen worden. Een typische toepassing wordt gegeven door de [[stelling van Arzelà-Ascoli]] en in het bijzonder de [[existentiestelling van Peano]], waarin men in staat is om het bestaan van een functie met enige vereiste eigenschappen te concluderen als een limietgeval van enige meer algemene constructie.

Verschillende gelijkwaardige noties van compactheid zoals [[sequentiële compactheid]] en [[limietpunt compactheid]], kunnen in de algemene [[metrische ruimte]]n worden ontwikkeld. In het algemeen zijn in [[topologische ruimte]]n de verschillende noties van compactheid echter niet noodzakelijkerwijs gelijkwaardig, en de meest bruikbare notie, in 1929 geïntroduceerd door [[Pavel Aleksandrov]] en [[Pavel Urysohn]], involveert het bestaan van zekere [[eindige verzameling|eindige]] [[familie van verzamelingen|families]] van [[open verzameling]]en, die de ruimte in die zin "afdekken" dat elk punt van die ruimte in enige [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] moet liggen die deel uitmaakt van deze familie. Deze meer subtiele definitie laat compacte ruimten zien als veralgemeningen van [[eindige verzameling]]en. In ruimten, die in deze laatste zin compact zijn, is het vaak mogelijk om informatie samen te voegen, die [[lokale eigenschap|lokaal]] van toepassing is; dat is in een [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] van elk punt - in corresponderende beweringen die van toepassing zijn door de gehele ruimte, en vele [[stelling (wiskunde)|stelling]]en zijn van deze aard.

Intuïtief gesproken zegt men dat een ruimte compact is, wanneer als men een oneindig aantal "stappen" in deze ruimte zet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij een ander punt van deze ruimte uitkomt. Terwijl [[schijf (wiskunde)|schijven]] en [[sfeer (wiskunde)|sferen]] dus compact zijn, zijn [[lijn (wiskunde)|lijn]]en en [[vlak (meetkunde)|vlak]]ken dit niet, noch is een schijf of een sfeer met een ontbrekend punt een compacte ruimte. In het geval van een lijn of vlak, kan men gelijke stappen in enige richting zetten zonder enig punt te naderen; geen van deze beide ruimten zijn dus compact. In het geval van een schijf of sfeer met een ontbrekend punt, kan men naar het ontbrekende punt bewegen zonder dit punt ooit ''binnen'' de ruimte te kunnen benaderen. Dit toont aan dat de schijf of sfeer met een ontbrekend punt ook niet compact zijn.

Compactheid veralgemeent vele belangrijke eigenschappen van [[gesloten verzameling|gesloten]] en begrensd [[interval (wiskunde)|interval]]len op de [[reële lijn]], dat wil zeggen intervallen van de vorm [''a'', ''b''] voor de [[reëel getal|reële getallen]] ''a'' en ''b''. Elke [[Continue functie (analyse)|continue functie]], die op een compacte ruimte wordt gedefinieerd into een geordende verzameling (met de [[ordeningstopologie]]), zoals de reële lijn is begrensd. Dus veralgemeent de stelling die in de [[wiskundige analyse]] als de [[extremumstelling]] bekendstaat naar compacte ruimten. Op deze wijze kan men vele belangrijke stellingen in de klasse van compacte ruimten bewijzen, waar dit niet gaat in de context van niet-compacte ruimten.

Verschillende definities van compactheid kunnen van toepassing zijn, afhankelijk van het niveau van algemeenheid. Een [[deelverzameling]] van de [[Euclidische ruimte]] wordt in het bijzonder compact genoemd als het een [[gesloten verzameling|gesloten]] en [[begrensd|begrensde verzameling]] is. Dit impliceert, met behulp van de [[stelling van Bolzano-Weierstrass]], dat enige oneindige [[rij (wiskunde)|rij]] uit de verzameling een [[deelrij]] heeft, die [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar een punt in de verzameling. Dit is een nadere uitleg van het idee van het zetten van "stappen" in een ruimte. Verschillende gelijkwaardige noties van compactheid, zoals [[sequentiële compactheid]] en [[limietpunt compactheid]] kunnen in de algemene [[metrische ruimte]]n worden ontwikkeld.

In het algemeen zijn de verschillende noties van compactheid voor [[topologische ruimte]]n echter niet gelijkwaardig, en de meest nuttige notie van compactheid - die oorspronkelijk ''bicompactheid'' werd genoemd - brengt [[famile van verzamelingen|familie]]s van [[open verzameling]]en met zich mee, die de ruimte in die zin "afdekken", dat elk punt van de ruimte in enige verzameling moet liggen, die deel uitmaakt van de familie van verzamelingen. Concreet gesproken is een topologische ruimte compact, als wanneer een collectie van open verzamelingen de ruimte afdekt, enige deelcollectie, die uit slechts een eindig aantal open verzamelingen bestaat ook de ruimte afdekt. Dat deze vorm van compactheid opgaat voor gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte staat bekend als de [[stelling van Heine-Borel]]. Wanneer compactheid op deze manier wordt gedefinieerd kan men vaak informatie die [[lokale eigenschap|lokaal]] bekend is in een [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] van elk punt van de ruimte - uitbreiden tot informatie die globaal opgaat voor de gehele ruimte. Een voorbeeld van dit fenomeen is de [[stelling van Dirichlet]], waarop dit principe oorspronkelijk werd toegepast door [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]], dat een [[Continue functie (analyse)|continue functie]] op een compact interval [[uniforme continuïteit|uniform continu]] is; hier is continuïteit een lokale eigenschap van de [[functie (wiskunde)|functie]] en is uniforme continuïteit de corresponderende globale eigenschap.

Formeel wordt een [[topologische ruimte]] '''compact''' genoemd, indien elk van haar [[open dekking]]en een [[eindige verzameling|eindige]] [[deeldekking]] heeft. Anders wordt een dergelijke topologische ruimte '''niet-compact''' genoemd. Expliciet betekent dit dat voor iedere willekeurige [[collectie (wiskunde)|collectie]]

van [[open verzameling|open deelverzameling]]en van <math>X</math> zodanig dat

er een eindige deelverzameling <math>J</math> van <math>A</math> bestaat zodat

In de 19e eeuw werden verschillende uiteenlopende wiskundige eigenschappen voor het eerst begrepen die later zouden worden gezien als gevolgen van compactheid. Aan de ene kant was [[Bernard Bolzano]] zich ervan bewust dat elke begrensde rij van punten (bijvoorbeeld in een lijn of in het vlak) uiteindelijk willekeurig dicht bij enig ander punt moet komen, dat een [[limietpunt]] wordt genoemd. Bolzano's bewijs was gebaseerd op de [[bisectie|methode van bisectie]]: de rij werd in een interval geplaatst, dat vervolgens in twee gelijke intervallen werd verdeeld, en een deel dat oneindig veel termen van de rij bevatte werd geselecteerd. Dit proces kon vervolgens worden herhaald door het resulterende kleinere interval in kleinere en kleinere delen op te delen totdat het gewenste limietpunt wordt bereikt. De volle betekenis van de stelling van Bolzano, en zijn methode van bewijs, zou pas bijna 50 jaar later doordringen, toen deze stelling werd herontdekt door [[Karl Weierstrass]].<ref>{{aut|[[Morris Kline]]}}, 1972, pag: 952-953</ref>

In de jaren 1880 werd het duidelijk dat resultaten, die vergelijkbaar waren met de stelling van Bolzano-Weierstrass, konden worden geformuleerd voor [[functieruimte|ruimten van functies]] in plaats van alleen voor [[Getal (wiskunde)|getallen]] of meetkundige punten. Het idee om functies te beschouwen als zelf zijnde punten binnen een veralgemeende ruimte gaat terug tot het het onderzoek van [[Giulio Ascoli]] en [[Cesare Arzelà]].<ref>{{aut|[[Morris Kline]]}}, 1972, hoofdstuk 46, §2</ref> De culminatie van hun onderzoekingen, de [[stelling van Arzelà-Ascoli]], was een veralgemening van de stelling van Bolzano-Weierstrass naar families van [[Continue functie (analyse)|continue functies]], de precieze conclusies waarvan was, dat het mogelijk was om een [[uniforme convergentie|uniform convergente]] rij van functies uit een passende familie van functies af te leiden. De uniforme limiet van deze rij speelde dan precies dezelfde rol als het "limietpunt" van Bolzano.

Aan het begin van de twintigste eeuw was er intussen langzamerhand een volstrekt verschillende notie van compactheid ontstaan als gevolg van de studie van het [[lineaire continuüm|continuüm]], welke studie werd gezien als "fundamenteel voor de strikte formulering van de analyse". In 1870 liet [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]] zien dat een [[Continue functie (analyse)|continue functie]] gedefinieerd op een gesloten en begrensd interval in feite [[uniforme continuïteit|uniform continu]] was. In het verloop van zijn bewijs maakte Heine gebruik van een lemma dat het "voor enige dekking van het interval door kleinere open intervallen, het mogelijk was om een eindig aantal open intervallen te kiezen die het interval ook bedekten". De betekenis van dit lemma werd in [[1895]] herkend door [[Émile Borel]] en werd in 1895 door [[Pierre Cousin]] en in [[1904]] door [[Henri Lebesgue]] veralgemeend naar willekeurige collecties van intervallen. De [[stelling van Heine-Borel]], zoals dit resultaat nu bekendstaat, is een andere speciale eigenschap van gesloten en begrensde verzamelingen van reële getallen.

*{{en}} [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1233 Aftelbare compactheid] op [[PlanetMath]]]

*{{en}} [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3133 Voorbeelden ven compacte ruimten] op [[PlanetMath]]]