Orde van grootte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting Label: Misbruikfilter: Experimenteren |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
De '''orde van grootte''' ([[Engels]]: ''order of magnitude'') van een getal is een term die gebruikt wordt binnen de [[exacte wetenschap]]pen (onder andere: [[natuurkunde]], [[scheikunde]], [[astronomie]] en [[geofysica]]) om een macht van 10 mee aan te duiden als (tamelijk grove) benadering van het getal. Bij het afschatten van uitkomsten van berekeningen is het bepalen van de orde van grootte een belangrijk hulpmiddel om 'onzin-uitkomsten' vroegtijdig te kunnen elimineren.
Onder de orde van grootte van een reëel getal ''x'' verstaan we de [[macht]] <math>{{10}^{N}}</math> van 10 die ‘het dichtst bij’ ''x'' ligt. Zo is bijvoorbeeld <math>{{10}^{3}}</math> de orde van grootte van ''x'' = 2300 en <math>{{10}^{4}}</math> de orde van grootte van 6800.
De [[exponent]] ''N'' in de macht van 10 is de exponent van de orde van grootte, maar die wordt zelf ook wel de orde van grootte genoemd. Als men zegt: “het getal ''y'' is 2 ordes van grootte groter dan ''x''”, dan bedoelt men te zeggen: “de orde van grootte van ''y'' is <math>{{10}^{2}}</math> maal de orde van grootte van ''x''”. Nauwkeuriger zou zijn: “De exponent van de orde van grootte van ''y'' is 2 groter dan de exponent van de orde van grootte van ''x''”.
De orde van grootte <math>{{10}^{N}}</math> van ''x'' staat in relatie tot de [[wetenschappelijke notatie]] van ''x'', dus de uitdrukking: <math>x=\pm s\cdot {{10}^{n}}</math>. Hierin is ''s'' de [[significant]] van ''x'' (Engels: significand, vaak in relatie met computers ten onrechte de [[mantisse]] genoemd). Een veel toegepaste normalisatie van de wetenschappelijke notatie gebruikt significanten in het interval van 1,000… tot en met 9,999….
Afhankelijk van hetgeen men verstaat onder ‘het dichtst bij’ zijn verschillende aanscherpingen van bovenstaande definitie mogelijk. Welke aanscherping men kiest is afhankelijk van hoe men de schaal van de getallen ''x'' ‘ziet’.
Regel 11:
==Orde van grootte op een logaritmische schaal==
Door het gebruik van machten van 10 ontstaat een logaritmische indeling van de getallenas. Tot ongeveer 1975, dus voor de massale opkomst van digitale computers en elektronische rekenmachines, werd er gerekend met [[rekenliniaal]] en [[logaritmetabel]]. De meeste rekenlinialen bevatten een schaal met significanten (D) en een schaal (L) met mantissen. Ook de logaritmetabel, die vooral werd gebruikt als berekeningen met meer significante cijfers moesten worden uitgevoerd, was een tabel met significanten en bijbehorende mantissen. De exponent ''n'' werd toen de wijzer van ''x'' genoemd.
Belangrijk is zich te realiseren dat daarbij ook de significanten langs een logaritmische as worden voorgesteld. Het product van twee getallen wordt dan bepaald via de som van de logaritmen, het quotiënt via het verschil, enzovoorts.
Als de significanten op een [[logaritmische schaal]] worden voorgesteld, ligt de wortel uit 10 (ongeveer 3,162) halverwege het interval van de genormaliseerde significanten. Op een logaritmische schaal hebben dus alle getallen in het halfopen interval <math>[\frac{{{10}^{n}}}{\sqrt{10}},\sqrt{10}\cdot {{10}^{n}})</math> dezelfde macht <math>{{10}^{n}}</math> als orde van grootte. In dat geval is de exponent van de orde van grootte ''N'' = ''n''. Aangezien de wortel uit 10 ongeveer 3,162 is, hebben bijvoorbeeld alle getallen van 316,2 tot 3162 de macht <math>{{10}^{3}}</math> als dezelfde orde van grootte. In het bijzonder hebben zulke uiteenlopende getallen als 400 en 2300 dezelfde orde van grootte, namelijk 1000.
Maar niet alle getallen <math>x=\pm s\cdot {{10}^{n}}</math> hebben <math>{{10}^{n}}</math>als orde van grootte. Dat kan men zien als men de logaritme van een positieve ''x'' bepaalt: <math>\log x=\log s+n=m+n</math> . De mantisse ''m'' van ''x'' is de [[logaritme]] van de significant: <math>m=\log s</math> . Alleen de getallen met een mantisse kleiner dan ½ hebben <math>{{10}^{n}}</math> als orde van grootte, dus ''N'' = ''n''. Getallen met een mantisse groter dan of gelijk aan ½ hebben <math>{{10}^{n+1}}</math> als orde van grootte, dan dus ''N'' = ''n'' + 1. Men ziet dat terug in het bovenstaande voorbeeld met de getallen 2300 en 6800.
| |||