Fourieranalyse: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k <math> met AWB |
|||
Regel 1:
'''Fourieranalyse''' is een [[wiskunde|wiskundige]] techniek om [[functie (wiskunde)|functies]] van reële [[variabele]]n uit te drukken als een [[lineaire combinatie]] van functies die afkomstig zijn uit een collectie standaardfuncties. De techniek is genoemd naar de [[Frankrijk|Franse]] [[natuurkundige]] [[Jean-Baptiste Joseph Fourier]].
Fourieranalyse vindt toepassing voor onderscheidene klassen van functies. Een bekende toepassing is de [[fourierreeks]], waarbij de geanalyseerde functie, mits deze [[periodieke functie|periodiek]] en [[begrensdheid|begrensd]] is, wordt uitgedrukt in termen van [[sinus en cosinus|sinussen en cosinussen]]. Andere toepassingen zijn de [[Fouriertransformatie|continue]] en de [[discrete fouriertransformatie]].
Regel 9:
In een muzikale [[toon (muziek)|toon]] van een zekere [[frequentie]] blijken ook boventonen, dat wil zeggen tonen met een [[veelvoud (wiskunde)|veelvoud]] van de (grond)frequentie, aanwezig te zijn. Samen bepalen ze de [[klankkleur]] van een toon. Het blijkt dat we de toon kunnen opvatten als samengesteld uit de grondtoon en de boventonen, elk met z'n eigen sterkte. Zo kan een periodiek signaal, dat aan de juiste voorwaarden voldoet, opgebouwd gedacht worden uit een "grondtoon", dat wil zeggen een cosinus met de frequentie overeenkomend met de [[Periode (wiskunde)|periode]], en een reeks "boventonen", cosinussen met als frequentie veelvouden van de grondfrequentie.
Als <math>T</math> de periode is van het signaal <math>x(t)</math> (de frequentie is dan <math>f=1/T</math>), kan <math>x(t)</math> geschreven worden, met <math>\omega = 2\pi f</math>, als:
:<math>x(t) = \tfrac 12 c_0 + c_1 \cos(\omega t- \varphi_1)+c_2 \cos(2 \omega t- \varphi_2)+c_3 \cos(3\omega t-\varphi_3)+\ldots</math>
De coëfficiënten <math>c_k</math> vormen gezamenlijk het [[spectrum]] van <math>x</math>. Zij zijn de amplituden van de boventonen, die elk nog hun eigen fase(hoek) <math>\varphi_i</math> hebben.
===Fourierreeks===
Regel 26:
:<math>a_n = \frac{2}{T}\int x(t)\cos(n\omega t)dt</math> en <math>b_n = \frac{2}{T}\int x(t)\sin(n\omega t)dt</math>
waarbij de integralen over de periode T worden genomen.
Voor het berekenen van respectievelijk amplitude en fase van iedere harmonische, geldt:
Regel 34:
:<math>\tan(\varphi_n) = b_n/a_n\,</math>.
Bij de laagste frequentie in het signaal hoort de frequentie <math>f=\omega/{2\pi}</math>. Deze frequentie wordt de ''grondfrequentie'' of ''grondtoon'' genoemd en de frequenties <math>2f, 3f, \ldots</math> vormen de ''harmonischen'' of ''boventonen''.
Eenvoudiger en wiskundig elegant, kan men de fouriertransformatie opschrijven met [[complex getal|complexe]] getallen.
Regel 48:
:<math>\alpha_n = \frac{1}{2}(a_n+b_n i)</math>
Voor reële functies geldt voor de coëfficiënten <math>
:<math> \alpha_{-n}^{ } = \overline{\alpha_n} </math>
Regel 57:
===Voorbeeld fourierontbinding===
De hieronder geschetste (discontinue) functie kunnen we opgebouwd denken als som van oneindig veel sinusvormige termen, met perioden die een geheel deel van de basisperiode zijn.
Om de opbouw van deze reeks te zien, die zelf uit continue sinussen bestaat, maar deze discontinue functie benadert, tonen we een eindig aantal termen, en wel: 1 term, 3 termen, 10, 50 en 150 termen. Merk op dat de opgebouwde reeks doorschiet aan de discontinuïteiten: dit is het [[Fourierreeks#Gibbs-verschijnsel|verschijnsel van Gibbs]].
Regel 102:
==Toepassingsgebieden==
Fourieranalyse wordt toegepast in vrijwel alle domeinen van de techniek: [[mechanica]], [[elektronica]], [[digitale signaalbewerking]], enz. Opmerkelijk is misschien dat fourieranalyse evengoed gebruikt kan worden voor de bestudering van [[Signaal (algemeen)|signalen]] als van [[systeem (wetenschap)|systemen]] (op voorwaarde dat die systemen [[lineariteit|lineair]] zijn en [[invariant (wiskunde)|tijd-invariant]]).
Fourierreeksen worden onder meer gebruikt voor de oplossing van de [[golfvergelijking]] (bij onder andere [[geluid]],
Regel 126:
Met betrekking tot geluid volgt uit een fourieranalyse dat elke toon (een periodiek verschijnsel) is opgebouwd beschouwd uit een (al dan niet aanwezige) [[grondtoon (natuurkunde)|grondtoon]] en [[boventoon|boventonen]]. De onderlinge verhoudingen bepalen de [[klankkleur]], waarvan gebruikgemaakt wordt bij [[additieve synthese]]. In het [[oor]] wordt op de [[basilaire membraan]] eveneens een soort [[spectraalanalyse]] uitgevoerd.
Bij beeldbewerking gebruikt men tweedimensionale fourieranalyse en -synthese. Hierbij wordt er gewerkt met functies en van 2 variabelen, en wordt er simultaan in twee richtingen [[integraalrekening|geïntegreerd]] of gesommeerd (bij de DFT).
{{Wikibooks|Fourieranalyse}}
| |||