Compacte ruimte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k Z&V: dichtbij |
k →Historische ontwikkeling: typo |
||
Regel 37:
Aan het begin van de twintigste eeuw was er intussen langzamerhand een volstrekt verschillende notie van compactheid ontstaan als gevolg van de studie van het [[lineaire continuüm|continuüm]], welke studie werd gezien als "fundamenteel voor de strikte formulering van de analyse". In 1870 liet [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]] zien dat een [[Continue functie (analyse)|continue functie]] gedefinieerd op een gesloten en begrensd interval in feite [[uniforme continuïteit|uniform continu]] was. In het verloop van zijn bewijs maakte Heine gebruik van een lemma dat het "voor enige dekking van het interval door kleinere open intervallen, het mogelijk was om een eindig aantal open intervallen te kiezen die het interval ook bedekten". De betekenis van dit lemma werd in [[1895]] herkend door [[Émile Borel]] en werd in 1895 door [[Pierre Cousin]] en in [[1904]] door [[Henri Lebesgue]] veralgemeend naar willekeurige collecties van intervallen. De [[stelling van Heine-Borel]], zoals dit resultaat nu bekendstaat, is een andere speciale eigenschap van gesloten en begrensde verzamelingen van reële getallen.
Deze eigenschap was van belang omdat het toestand [[lokaal eigenschap|lokale informatie]] over een verzameling (zoals de continuïteit van een functie) te veralgemenen naar globale informatie over de verzameling (zoals de uniforme continuïteit van een functie). Dit gevoel werd in 1904 uitgedrukt door Lebesgue, die deze eigenschap ook benutte in de ontwikkeling van de [[Lebesgue-integraal]]. Uiteindelijk formuleerde de Russische school van de [[topologie|puntenverzameling topologie]] onder leiding van [[Pavel Aleksandrov]] en [[Pavel Urysohn]], de notie van Heine-Borel compactheid op een manier die kon worden toegepast
== Voorbeelden ==
| |||