Vectoranalyse: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 43:
Het gebruik van de vectoranalyse kan vereisen dat rekening moet worden gehouden met de oriëntatie van het [[coördinatensysteem]] zie [[kruisproduct|kruisproduct en örientatie]] voor meer details). Het merendeel van de analytische resultaten kunnen ook in een meer algemene vorm, met behulp van methodes uit de [[differentiaalmeetkunde]], waarvan de vectoranalyse een deelverzameling vormt, worden gesteld.
==Identiteiten==
===Optelling en vermenigvuldiging===
*<math> \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A} </math>
*<math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} </math>
*<math> \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A} </math>
*<math> \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} </math>
*<math> \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C} </math>
*<math> \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)=\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)</math>
*<math> \mathbf{A}\times\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{C} </math>
*<math> \left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{A} </math>
*<math> \left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right) </math>
*<math>
\left(\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\right)\mathbf{D}=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{C}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right) </math>
*<math>
\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\times\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)
=\left(\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{D}\right)\right)\mathbf{C}-\left(\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)\right)\mathbf{D}</math>
===Differentiëren===
====Gradient====
*<math> \nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi </math>
*<math> \nabla (\psi \, \phi) = \phi \,\nabla \psi + \psi \,\nabla \phi </math>
*<math> \nabla\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B}+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times\left(\nabla\times\mathbf{B}\right)+\mathbf{B}\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right) </math>
====Divergentie====
*<math> \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B} </math>
*<math> \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla \psi </math>
*<math> \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\mathbf{B}\cdot (\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) </math>
====Rotatie====
*<math> \nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B} </math>
*<math> \nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)=\psi\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\psi\times\mathbf{A}</math>
*<math> \nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)=\mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}-\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B} </math>
====Tweede afgeleiden====
*<math> \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 </math>
*<math> \nabla\times(\nabla\psi)= \mathbf{0} </math>
*<math> \nabla\cdot(\nabla\psi)=\nabla^{2}\psi </math> ([[Laplace operator|Laplaciaan]])
*<math> \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)=\nabla^{2}\mathbf{A} </math>
*<math> \nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\phi\nabla^{2}\psi + \nabla\phi\cdot\nabla\psi </math>
*<math> \psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi= \nabla\cdot\left(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi\right)</math>
*<math> \nabla^2(\phi\psi)=\phi\nabla^2\psi+2\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\psi\nabla^2\phi</math>
*<math> \nabla^2(\psi\mathbf{A})=\mathbf{A}\nabla^2\psi+2(\nabla\psi\cdot\nabla)\mathbf{A}+\psi\nabla^2\mathbf{A}</math>
*<math> \nabla^2(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})= \mathbf{A}\cdot\nabla^2\mathbf{B} - \mathbf{B}\cdot\nabla^2\mathbf{A} + 2\nabla\cdot((\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A} + \mathbf{B}\times\nabla\times\mathbf{A})</math>
====Derde afgeleiden====
*<math>\nabla^{2}(\nabla\psi) = \nabla(\nabla\cdot(\nabla\psi)) = \nabla(\nabla^{2}\psi)</math>
*<math> \nabla^{2}(\nabla\cdot\mathbf{A}) = \nabla\cdot(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})) =\nabla\cdot(\nabla^{2}\mathbf{A})</math>
*<math> \nabla^{2}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})) = \nabla\times(\nabla^{2}\mathbf{A})</math>
== Toepassingen ==
| |||