|
Een vijfhoek of pentagoon, uit het [[Grieks]], van πεντάγωνον, spreek uit ''pentágoonon'', is een figuur met [[5 (getal)|vijf]] [[Hoek (meetkunde)|hoeken]] en vijf [[Zijde (meetkunde)|zijden]]. ''Pente'', πέντε, is Grieks voor [[5 (getal)|vijf]], ''gonos'', γωνος, is Grieks voor hoek. Een '''regelmatige vijfhoek''' is een vijfhoek waarvan de vijf hoeken en de vijf zijden gelijk zijn.
De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 108°.
== Dodecaëder en pentagram ==
De [[dodecaëder]] is een [[regelmatig veelvlak]], dus een [[Driedimensionaal|driedimensionale]] figuur, met 12 zijvlakken. Deze zijvlakken zijn 12 [[Congruentie (meetkunde)|congruente]] regelmatige vijfhoeken.
Een [[pentagram]] is een gelijkmatige vijfpuntige ster, het is een [[sterveelhoek]]. De hoekpunten van een pentagram liggen op een regelmatige vijfhoek, maar bij het verbinden van de hoekpunten moet steeds een hoekpunt worden overgeslagen.
== Constructie van de regelmatige vijfhoek ==
[[Bestand:Pentagon-construction.svg|{{largethumb}}|Constructie van een regelmatige vijfhoek met passer en liniaal]]
Een manier om een regelmatige vijfhoek te [[construeren]] met [[Passer (gereedschap)|passer]] en [[liniaal]] werd al gegeven door [[Euclides van Alexandrië|Euclides]]. Het kan op verschillende manieren, bijvoorbeeld:
Eerst een [[Coördinatenstelsel|assenkruis]]:
* '''''x''-as''': Teken een horizontale [[Lijn (meetkunde)|lijn]]. Dat wordt de horizontale as.
* '''''y''-as''': Teken twee [[cirkel]]s met dezelfde [[Straal (wiskunde)|straal]] met het [[middelpunt (meetkunde)|middelpunt]] op deze lijn, die met elkaar twee [[snijpunt]]en hebben. De lijn door deze twee snijpunten wordt de verticale as. Dit punt ''O'' is te vergelijken met de [[Oorsprong (wiskunde)|oorsprong]] in een Cartesisch coördinatenstelsel.
Nu de regelmatige vijfhoek:
* Teken een cirkel met het middelpunt in ''O'', waarop de [[Hoekpunt (meetkunde)|hoekpunten]] ''AEGHF'' van de vijfhoek moeten komen. In de figuur is deze eerste cirkel groen. Het snijpunt van de loodlijn en de groene cirkel is punt ''A''.
* Een van de snijpunten van de groene lijn met de horizontale lijn noem je punt ''B''.
* Bepaal het midden ''C'' tussen ''O'' en ''B''. Deel het lijnstuk ''OB'' in twee gelijke stukken, doe dit door met middelpunt ''B'' een cirkel door ''O'' te tekenen. Trek nu verticaal een lijn door de snijpunten van deze cirkel en de eerste groene cirkel. Deze lijn is de [[middelloodlijn]] van ''O'' en ''B'', maar staat niet gegeven in de figuur. Het punt ''C'' is het snijpunt van de middelloodlijn met het lijnstuk ''OB''. De lengte van ''OC'' is gelijk aan de lengte van ''BC''.
* Zet nu, de passerpunt op punt ''C'', en de potloodpunt op ''A''. Teken een deel van de cirkel, in de figuur rood onderbroken, tot het snijpunt met de horizontale lijn. Dit is punt ''D''. Lijnstuk ''OD'' ligt aan de andere kant van de oorsprong ''O'' dan lijnstuk ''OC''.
* Zet de passerpunt in ''A'', trek nu een cirkel door ''D''. Deze cirkel, in de figuur blauw onderbroken, heeft nu twee snijpunten met de eerste groene cirkel. Dit zijn de punten ''E'' en ''F''. Dit zijn de eerste twee gevonden hoekpunten van de regelmatige vijfhoek.
* Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in ''E'' en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt ''G''.
* Zet nu zonder de passer te veranderen de passerpunt in ''F'' en trek een cirkel, het snijpunt met de eerste groene cirkel is punt ''H''.
* Zet nu ter controle de passerpunt zonder de passer te veranderen in punt ''G'', de cirkel moet nu door punt ''H'' lopen.
* Het door rechte lijnstukken verbinden van de vijf punten ''AEGHF'' resulteert in een regelmatige vijfhoek.
== Formules ==
Bereken de straal, de [[omtrek]], de [[oppervlakte]], de hoogte van het middelpunt en de hoogte van de vijfhoek met alleen de lengte z van een zijde bekend, als volgt:
:<math>r = \frac{z}{\sqrt{2.5 - \sqrt{1.25}}} \simeq \frac{z}{1.17557}</math>
:<math>O = 5z</math>
:<math>A = 2.5z \cdot \sqrt{r^2 - 0.25z^2}</math>
:<math>M = \sqrt{r^2 - 0.25z^2}</math>
:<math>H = \sqrt{r^2 - 0.25z^2} + r</math>
* z = Lengte van één zijde van vijfhoek
* r = Straal van de vijfhoek, de lengte van het middelpunt naar één van de vijf hoeken
* O = Omtrek van de vijfhoek
* A = Oppervlakte van de vijfhoek
* M = Hoogte van het middelpunt van de vijfhoek
* H = Hoogte van de vijfhoek
== Voorbeeld ==
Het [[Pentagon (Verenigde Staten)|Pentagon]], het Amerikaanse ministerie van Defensie, is gebouwd in de vorm van een regelmatige vijfhoek.
{{Commonscat|Pentagons}}
[[Categorie:Veelhoek]]
| 