Projectief vlak: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
Inleiding overgenomen van de Engelstalige wikipedia |
||
Regel 1:
[[Bestand:Railroad-Tracks-Perspective.jpg|thumb|right|[[Evenwijdig|Parallel]]le [[lijn (meetkunde)|lijn]]en snijden elkaar in het [[verdwijnpunt]] op [[oneindig]].]]
In de [[wiskunde]], is een '''projectief vlak''' is een meetkundige [[wiskundige structuur|structuur]] die het begrip [[vlak (meetkunde)|vlak]] uitbreidt. In het gewone [[Euclidische meetkunde|Euclidische vlak]] [[snijpunt|snijden]] twee [[lijn (meetkunde)|lijn]]en elkaar gewoonlijk in één bepaald [[punt (wiskunde)|punt]], maar zijn er enkele paren van lijnen (namelijk [[evenwijdig|parallelle]] lijnen) die elkaar niet snijden. Een projectief vlak kan worden beschouwd als een gewoon vlak dat is uitgerust met extra "[[punt op oneindig|punten op oneindig]]", waar parallelle lijnen elkaar snijden. ''Elke'' twee lijnen in een projectief vlak snijden elkaar dus in één en slechts één punt.
De basis voor dit wiskundige onderwerp werd in de [[Renaissance]] gelegd door [[kunstenaar]]s, die zich bezig hielden met de ontwikkeling van technieken om in [[Perspectief (schilderkunst)|perspectief]] te kunnen tekenen.
Het archetypische voorbeeld is het [[reëel projectief vlak|reële projectieve vlak]], dat ook wel bekend staat als het '''uitgebreide Euclidische vlak'''. Het [[reëel projectief vlak|reële projectieve vlak]] is, steeds in iets andere gedaanten, belangrijk in de [[algebraïsche meetkunde]], de [[topologie]] en de [[projectieve meetkunde]]. In deze deelgebieden van de wiskunde wordt een projectief vlak aangeduid met PG(2,'''R'''), '''RP'''<sup>2</sup> of ''P''<sub>2</sub>('''R'''). Er bestaan vele andere projectieve vlakken, zowel [[oneindig]]e, zoals het [[complex projectief vlak|complexe projectieve vlak]] en eindige, zoals het [[Fano-vlak]].
Een projectief vlak is een 2-dimensionale [[projectieve ruimte]], maar niet alle projectieve vlakken kunnen worden [[inbedding|ingebed]] in 3-dimensionale projectieve ruimten. De inbeddingseigenschap is een gevolg van een resultaat dat bekend staat als de [[stelling van Desargues]].
==Definitie==
Een '''projectief vlak''' kent meerdere definities; deze verschilt per deelgebied van de wiskunde. In de [[lineaire algebra]] definieert men een projectief vlak bijvoorbeeld zodanig dat het snel [[vlak (meetkunde)|vlak]]ken produceert, die tevens [[homogene ruimte]]n voor enkele van de [[klassieke groep]]en zijn, dit met inbegrip van het [[reëel projectief vlak|reëel projectieve vlak]] <math>\mathbb{P}^2</math>.
In de [[axiomatische meetkunde|axiomatische-]] en [[eindige meetkunde]] gebruikt men een projectief vlak voor een uitputtende studie van de enkelvoudige [[incidentie (meetkunde)|incidentie]]-eigenschappen van de [[Euclidische meetkunde]].
==Zie ook==
| |||