Compacte ruimte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 1:
In de [[topologie|algemene- en metrische topologie]], deelgebieden binnen de [[wiskunde]], is een '''compacte ruimte''' een abstracte wiskundige [[ruimte (wiskunde)|ruimte]], waarin indien men, intuïtief gesproken, een [[oneindige verzameling|oneindig]] aantal "stappen" in deze ruimte doet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij enige ander punt in deze ruimte kan komen. Een [[gesloten verzameling|gesloten-]] en [[Begrensdheid|begrensde]] [[deelverzameling]] (zoals een [[interval (wiskunde)|gesloten interval]] van een [[rechthoek]]) van een [[Euclidische ruimte]] is dus compact, omdat iemands stappen uiteindelijk wel gedwongen uitkomen in de buurt van een punt van de verzameling, een resultaat dat bekendstaat als de [[stelling van Bolzano-Weierstrass]], terwijl de Euclidische ruimte zelf geen compacte ruimte is, dit omdat men oneindig veel
Typische voorbeelden van compacte ruimten zijn, afgezien van de gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte, ruimten die niet uit [[meetkunde|meetkundige]] [[punt (meetkunde)|punt]]en, maar uit [[functieruimte]]n bestaan. De term ''compact'' werd in 1906 door [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] in de wiskunde geïntroduceerd als een distillatie van dit concept. Compactheid in deze meer algemene zin speelt een uiterst belangrijke rol in de [[wiskundige analyse]], omdat veel klassieke en belangrijke stellingen uit de 19e-eeuwse analyse, zoals de [[extremumstelling|extreme waardestelling]], eenvoudig naar deze situatie veralgemeend kunnen worden. Een typische toepassing wordt gegeven door de [[stelling van Arzelà-Ascoli]] en in het bijzonder de [[existentiestelling van Peano]], waarin men in staat is om het bestaan van een functie met enige vereiste eigenschappen te concluderen als een limietgeval van enige meer algemene constructie.
| |||