Convolutie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Voorbeeld toegevoegd met figuur. |
|||
Regel 1:
[[File:Convolution of box signal with itself2.gif|thumb|right|475px|Convolution van twee vierkante pulsen: het resultaat is een driehoekige puls. Eén van de functies (in dit geval ''g'') is gespiegeld rond <math>\tau=0</math> en dan verschoven met een factor ''t'', en wordt dus de functie <math>g(t-\tau)</math>. De oppervlakte onder het product van beide functies geeft de convolutie op het moment ''t''. De horizontale as is <math>\tau</math> voor ''f'' en ''g'', en t voor <math>f\ast g</math>.]]
[[File:Convolution of spiky function with box2.gif|thumb|right|475px|Convolutie van een vierkante puls (het input signaal) met een impuls signaal.
De integraal van hun product is de oppervlakte van de gele figuur.]]
'''Convolutie''' (samenvouwing) is een [[wiskunde|wiskundige]] [[operatie (wiskunde)|bewerking]], aangeduid door <math>* \,</math> of <math>\otimes</math>, op twee [[functie (wiskunde)|functies]] met als resultaat een nieuwe functie: de '''convolutie''' van beide. Synoniem voor convolutie is Duhamel-integraal of -som, [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung-integraal]] of -som (Duits: vouwen).
Een interpretatie van de convolutie is de transformatie van één van beide functies door de andere. Daarbij is het resultaat de oppervlakte van de overlap van beide functies, waarbij de tweede functie verschuift.
Voor het eerste voorbeeld hiernaast kan men dat als volgt bekijken:
* De functies ''f'' en ''g'' zijn blockfuncties met een waarde 1 voor elke waarde <math>\tau</math> die voldoet aan <math>-0,5 < \tau +0,5 </math>, en 0 voor elke andere waarde van <math>\tau</math>.
* Aangezien deze functies symmetrisch zijn rond 0 (met andere woorden: voor elke x geldt dat <math>f(x)=f(-x)</math> en <math>g(x)=g(-x)</math>), is de gespiegelde versie van de functie, gelijk aan de functie zelf.
* De functie ''g'' wordt dan verschoven met een factor ''t'', waarbij ''t'' varieert van <math>\infty</math> tot <math>-\infty</math>
* Op het moment dat ''t'' gelijk is aan -1, is er nog geen enkele overlap voor beide functies. Immers, de verschuiving van ''g'' met een factor <math>t=-1</math> resulteert in een blockfunctie ''g'' die een waarde 1 heeft voor alle waarden <math>\tau</math> die voldoen aan <math>-1,5 < \tau < -0,5</math>.
* Van zodra t echter groter wordt, is er een overlap van beide functies. Deze begint zeer klein, maar wordt maximaal als beide functies elkaar volledig overlappen. Dit is het geval bij <math>t=0</math>. Daar is dus ook de gemeenschappelijke oppervlakte het grootst.
* Daarna verkleint de overlap, en gaat dus ook de functie <math>f \otimes g</math> weer naar beneden.
Een gelijkaardige analyse kan men doen bij het tweede voorbeeld.
== Voorbeeld ==
| |||