Compacte ruimte: verschil tussen versies

 

Typische voorbeelden van compacte ruimten zijn, afgezien van de gesloten en begrensde deelverzamelingen van de Euclidische ruimte, ruimten die niet uit [[meetkunde|meetkundige]] [[punt (meetkunde)|punt]]en, maar uit [[functieruimte]]n bestaan. De term ''compact'' werd in 1906 door [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] in de wiskunde geïntroduceerd als een distillatie van dit concept. Compactheid in deze meer algemene zin speelt een uiterst belangrijke rol in de [[wiskundige analyse]], omdat veel klassieke en belangrijke stellingen uit de 19e-eeuwse analyse, zoals de [[extremumstelling|extreme waardestelling]], eenvoudig naar deze situatie veralgemeend kunnen worden. Een typische toepassing wordt gegeven door de [[stelling van Arzelà-Ascoli]] en in het bijzonder de [[existentiestelling van Peano]], waarin men in staat is om het bestaan van een functie met enige vereiste eigenschappen te concluderen als een limietgeval van enige meer algemene constructie.

Intuïtief gesproken zegt men dat een ruimte compact is, wanneer als men een oneindig aantal "stappen" in deze ruimte zet, men uiteindelijk willekeurig dichtbij een ander punt van deze ruimte uitkomt. Terwijl [[schijf (wiskunde)|schijven]] en [[sfeer (wiskunde)|sferen]] dus compact zijn, zijn [[lijn (wiskunde)|lijn]]en en [[vlak (meetkunde)|vlak]]ken dit niet, noch is een schijf of een sfeer met een ontbrekend punt een compacte ruimte. In het geval van een lijn of vlak, kan men gelijke stappen in enige richting zetten zonder enig punt te naderen; geen van deze beide ruimten zijn dus compact. In het geval van een schijf of sfeer met een ontbrekend punt, kan men naar het ontbrekende punt bewegen zonder dit punt ooit ''binnen'' de ruimte te kunnen benaderen. Dit toont aan dat de schijf of sfeer met een ontbrekend punt ook niet compact zijn.

 

 

Verschillende definities van compactheid kunnen van toepassing zijn, afhankelijk van het niveau van algemeenheid. Een [[deelverzameling]] van de [[Euclidische ruimte]] wordt in het bijzonder compact genoemd als het een [[gesloten verzameling|gesloten]] en [[begrensd|begrensde verzameling]] is. Dit impliceert, met behulp van de [[stelling van Bolzano-Weierstrass]], dat enige oneindige [[rij (wiskunde)|rij]] uit de verzameling een [[deelrij]] heeft, die [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] naar een punt in de verzameling. Dit is een nadere uitleg van het idee van het zetten van "stappen" in een ruimte. Verschillende gelijkwaardige noties van compactheid, zoals [[sequentiële compactheid]] en [[limietpunt compactheid]] kunnen in de algemene [[metrische ruimte]]n worden ontwikkeld.

Tegen het begin van de twintigste eeuw begonnen resultaten, die vergelijkbaar waren met die van Arzelà en Ascoli zich op te stapelen op het gebied van [[integraalvergelijking]]en, zoals onderzocht door [[David Hilbert]] en [[Erhard Schmidt]]. Voor een bepaalde klasse van [[Greense functie|Green-functie]]s die voortkomt uit oplossingen van integraalvergelijkingen, had Schmidt aangetoond dat een eigenschap, die analoog was aan de stelling van Arzela-Ascoli opging in de zin van [[gemiddelde convergentie]] - of convergentie in wat later de "[[Hilbertruimte]]" zou worden genoemd. Dit leidde uiteindelijk tot de notie van een [[compacte operator]] als uitloper van de algemene notie van een compacte ruimte. Het was [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]], die in [[1906]] de essentie van de Bolzano-Weierstrass eigenschap destilleerde en met de term ''compactheid'' op de proppen kwam om aan dit algemene fenomeen te refereren.

 

 

Deze eigenschap was van belang omdat het toestand [[lokaal eigenschap|lokale informatie]] over een verzameling (zoals de continuïteit van een functie) te veralgemenen naar globale informatie over de verzameling (zoals de uniforme continuïteit van een functie). Dit gevoel werd in 1904 uitgedrukt door Lebesgue, die deze eigenschap ook benutte in de ontwikkeling van de [[Lebesgue-integraal]]. Uiteindelijk formuleerde de Russische school van de [[topologie|puntenverzameling topologie]] onder leiding van [[Pavel Aleksandrov]] en [[Pavel Urysohn]], de notie van Heine-Borel compactheid op een manier die kon worden toegepast om de moderne notie van een [[topologische ruimte]]. In een artikel uit 1929 toonden Alexandrov en Urysohn aan dat de eerdere versie van compactheid, die was geformuleerd door Fréchet, nu ook wel de (relatieve) [[sequentiële compactheid]] genoemd, onder de juiste voorwaarden, volgde uit de versie van compactheid die was geformuleerd in termen van de bestaan van eindige deeldekkingen. Het was deze notie van compactheid die de dominante notie werd, dit omdat het niet alleen een sterkere eigenschap was, maar ook omdat deze notie in een meer algemene setting kon worden geformuleerd met een minimum van aanvullende technische eisen, aangezien deze notie zich slechts verliet op de structuur van de open verzamelingen in een ruimte.