Secans en cosecans: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
samengevoegd met cosecans. Ga het geheel nu hernoemen |
||
Regel 1:
[[Afbeelding:Circle-trig6.svg|thumb|right|250px|In een [[eenheidscirkel]] geeft de in het lichtblauw aangeduide lengte de secans aan van hoek θ.]]
De '''secans''' ([[Latijn]] voor ''de snijdende'')
== Secans ==
van een scherpe [[hoek (meetkunde)|hoek]] α in een [[rechthoekige driehoek]] is gelijk aan:
:<math>\sec(\alpha)=\frac{\textrm{schuine\ zijde}}{\textrm{aanliggende\ zijde}}</math>
Regel 13 ⟶ 15:
:<math> \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \;</math>
===Machtreeks===
De secans kan ontwikkeld worden in de volgende [[machtreeks]] voor |x| < π/2:
:<math>\sec(x) = 1 + \tfrac 12 x^2 + \tfrac{5}{24} x^4 + \tfrac{61}{720} x^6 + \cdots= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math>
Daarin is ''E''<sub>n</sub> een [[Eulergetal (getaltheorie)|Eulergetal]].
Van een scherpe [[hoek (meetkunde)|hoek]] α in een [[rechthoekige driehoek]] is de [[secans]] van het [[complement (driehoek)|complement]] van die hoek.
:<math>\csc(\alpha)=\sec(90^o-\alpha)\!</math>
Uitgedrukt in de zijden van de driehoek, geldt:
:<math>\csc(\alpha)=\frac{\textrm{schuine\ zijde}}{\textrm{overstaande\ zijde}}</math>
De cosecans van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is dus het omgekeerde van de [[sinus en cosinus|sinus]] van die hoek.
:<math>\csc(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}</math>
Uit de goniometrische cirkel en de [[stelling van Pythagoras]] kan de volgende relatie met de [[cotangens]] afgeleid worden:
:<math> \cot^2(x) + 1 = \csc^2(x) \;</math>
===Machtreeks===
De cosecans kan ontwikkeld worden in de volgende [[machtreeks]] voor 0 < |x| < π/2:
:<math>\csc (x)= \frac 1x + \tfrac 16 x + \tfrac{7}{360}x^3 + \tfrac{31}{15120} x^5 + \cdots= \sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1} B_{2n} \frac{ 2 (2^{2n-1}-1)}{(2n)!} x^{2n-1}
</math>
Daarin is ''B''<sub>n</sub> een [[Bernoulligetal]].
==Zie ook==
* [[Goniometrische functie]]
▲* [[Cosecans]]
{{Navigatie wiskundige functies}}
| |||