Schrödingervergelijking: verschil tussen versies

41 bytes verwijderd ,  10 jaar geleden
- komma's en punten in vergelijkingen
(- komma's en punten in vergelijkingen)
{{Zijbalk kwantummechanica}}
De '''Schrödingervergelijking''', aanvankelijk in [[1925]] als [[golfvergelijking]] opgesteld door de Oostenrijkse natuurkundige [[Erwin Schrödinger]], is in de [[kwantummechanica]] een [[partiële differentiaalvergelijking]] die de basisformule vormt voor het beschrijven van een kwantummechanisch systeem. De toestand van een dergelijk systeem wordt beschreven door de zgn. [[golffunctie]] ''ψ'' en de mechanische eigenschappen door de [[Hamiltoniaan]] ''H'' van het systeem, een [[Schrödinger-operator|operator]] die de totale energie van het systeem voorstelt. Voor een systeem van een enkel deeltje luidt de Schrödingervergelijking:
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t) </math>,
 
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(\vec{r},t) = H \psi(\vec{r},t) </math>,
 
waarin <math>\vec{r}</math> de driedimensionale plaatsvector is, t de tijd en <math>\hbar</math> de [[constante van Dirac]] en ''i'' [[imaginaire eenheid]]. Gegeven de toestand van het systeem (dat wil zeggen gegeven de golffunctie ψ) kan hiermee de evolutie (ontwikkeling in de tijd) van het systeem berekend worden. De [[kansdichtheid]] op tijdstip ''t'' voor de positie <math>\vec{r}</math> van het deeltje wordt dan gegeven door:
:<math>|\psi(\vec{r},t)|^2\,.</math>
 
:<math>|\psi(\vec{r},t)|^2\,.</math>
 
De [[complex getal|complexwaardige]] golffunctie bevat de informatie voor alle eigenschappen van het deeltje, zoals plaats, [[impuls (natuurkunde)|impuls]] en energie (interne eigenschappen, zoals spin, daargelaten).
 
== Kwantisatie van fysische eigenschappen ==
 
Elke meetbare fysische grootheid van het systeem correspondeert met een bepaalde [[operator]] <math> \hat{O} </math>, die een bewerking op de golffunctie definieert. Als de golffunctie een [[eigenfunctie]] is van de operator, dan heeft die operator het effect van een vermenigvuldiging van die eigenfunctie met de bijbehorende [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]] van de fysische grootheid. Dus als voor operator <math> \hat{O} </math> de golffunctie een eigenfunctie is, dan:
:<math> \hat{O} \psi(\vec{r},t) = o_e\, \psi(\vec{r},t) </math>.
 
:<math> \hat{O} \psi(\vec{r},t) = o_e\, \psi(\vec{r},t) </math>.
 
De fysische grootheid van het systeem dat verkeert in de toestand die door de eigenfunctie beschreven wordt, heeft dan de bij meting nauwkeurig voorspelbare eigenwaarde ''o<sub>e</sub>''. Een operator kan meer dan een eigenfunctie hebben die een (quasi-)stabiele toestand van het systeem beschrijft; bij elke eigenfunctie hoort een eigenwaarde. Het systeem kan sprongsgewijs overgaan van de ene stabiele toestand in de andere, waarbij dus de fysische grootheid sprongsgewijs meeverandert. Dit wordt ''kwantisatie'' genoemd, waarmee de kwantummechanica zich onderscheidt van de klassieke fysica.
 
Verkeert het systeem niet in een toestand die met een eigenfunctie van de operator beschreven wordt, dan is de meetwaarde van ''o'' niet nauwkeurig voorspelbaar, maar heeft een [[kansdichtheid]] met een eindige breedte. De [[verwachtingswaarde]] is dan te berekenen volgens:
:<math>p = \int \psi^*(x\vec{r},t) (-i \hbar hat{\partial\over\partial xO}) \psi(x\vec{r},t) dxd^3 \vec{r}</math>.
 
:waarbij <math> \int \psi^*(\vec{r},t)</math> \hat{O}de [[complex geconjugeerde]] is van <math>\psi(\vec{r},t) d^3 \vec{r}</math>,
 
waarbij <math>\psi^*(\vec{r},t)</math> de [[complex geconjugeerde]] is van <math>\psi(\vec{r},t)</math>.
 
Een voorbeeld om dit te verduidelijken: een meetbare waarde van het eendeeltjes-systeem in een eendimensionale ruimte is de [[impuls (natuurkunde)|impuls]] van het deeltje. De hiermee corresponderende operator is <math> -i \hbar {\partial\over\partial x} </math>. Dus gegeven de golffunctie <math>\psi(x,t)</math>, dan is de verwachtingswaarde voor de impuls gelijk aan:
:<math>i\hbarp = \fracint {1}{\kappapsi^*(x,t)} (-i \hbar {\partial\kappa(t)\over\partial tx}=\frac{H\phi(r)}{ \phipsi(rx,t)}. dx </math>
 
:<math>p = \int \psi^*(x,t) (-i \hbar {\partial\over\partial x}) \psi(x,t) dx </math>.
 
== Betekenis van de Schrödingervergelijking ==
De basis voor de vergelijking is de wet van behoud van energie, die stelt dat de totale energie ''E'' de som is van de kinetische energie ''T'' en de potentiële energie ''V'':
:<math>E = T + V\,</math>
 
:<math>E = T + V\,</math>
 
Deze wet geldt zowel voor deeltjes als golven in de klassieke mechanica. Vermenigvuldigd met ψ krijgen we
:<math>E\psi = (T + V)\psi\,</math>
 
:<math>E\psi = (T + V)\psi\,</math>
 
Voor een golf bestond al een uitdrukking die het mogelijk maakt de kinetische energie uit te drukken met behulp van tweede afgeleiden van een functie die de golf beschrijft:
:<math>T = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2</math>,
:<math>T = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2</math>,
 
waarbij <math>\nabla^2</math> de [[Laplaceoperator]] voorstelt. In de golfmechanica spelen dergelijke operatoren een bijzonder grote rol. Zij stellen ons namelijk in staat uit een golffunctie , die we ons als een soort trillingspatroon kunnen voorstellen , bepaalde eigenschappen te berekenen, in dit geval de kinetische energie.
 
Als de totale energie E van het systeem constant is, dat wil zeggen dat het 'trillingspatroon' ψ niet met de tijd verandert, luidt de Schrödingervergelijking na invulling van bovenstaande operator T:
 
:<math>E\psi(\mathbf{r},t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)</math>
 
Het is ook mogelijk veranderingen van golffunctie met de tijd te beschrijven. In zijn tijdsafhankelijke vorm wordt de vergelijking:
 
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t)= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi(\mathbf{r},t)</math>
 
Opnieuw is hier sprake van het inbrengen van een operator:
 
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}= E</math>
 
== Tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking voor één deeltje ==
Als de Hamiltoniaan niet van de tijd afhangt, krijgt men door scheiding van variabelen:
:<math>\psi(r,t)=\phi(r)\kappa(t)\,</math>
 
:<math>\psi(r,t)=\phi(r)\kappa(t)\,</math>
 
de volgende relaties:
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t} \psi(r,t) = i \hbar {\partial\over\partial t}\phi(r)\kappa(t)=i \hbar \phi(r){\partial\over\partial t}\kappa(t)</math>
 
:<math> i \hbar {\partial\over\partial t}H \psi(r,t) = iH \hbar {\partial\over\partial t}\phi(r)\kappa(t) =i \hbar kappa(t)H\phi(r){\partial\over\partial t}\kappa(t)!</math>,
 
:<math> H \psi(r,t)= H \phi(r)\kappa(t) = \kappa(t)H\phi(r) \!</math>,
 
zodat uit de Schrödingervergelijking volgt:
:<math>i\hbar\frac {1}{\kappa(t)}{\partial\kappa(t)\over\partial t}=\frac{H\phi(r)}{\phi(r)}</math>
 
:<math>i\hbar\frac {1}{\kappa(t)}{\partial\kappa(t)\over\partial t}=\frac{H\phi(r)}{\phi(r)}.</math>
Linker- en rechterlid zijn dus constant, zodat:
:<math>i\hbar{\partial\kappa(t)\over\partial t} = E\kappa(t)</math>,
en
:<math> H \phi(r)= E\phi(r).\,</math>
 
Deze laatste vergelijking, met de operator ''H'' en constante ''E'' is de tijdsonafhankelijke Schrödingervergelijking. De vergelijking is een eigenwaardevergelijking voor de operator ''H'' met [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]] ''E'' en [[eigenfunctie]] ''φ''.
71.301

bewerkingen