Scheiden van veranderlijken: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
flufje Engels was blijven staan |
algemeen geval nu echt algemeen gemaakt voor type scheiding van veranderlijken |
||
Regel 3:
== Scheidbare eerste-orde lineaire gewone differentiaalvergelijkingen ==
Een scheidbare lineaire gewone [[differentiaalvergelijking]] van de eerste orde heeft de algemene vorm:
:<math>\frac{dy}{dt} + f(t) .g(y) = 0 \, </math>
Wanneer de differentiaalvergelijking wordt geschreven door middel van differentialen (dx,dy) in plaats van door een afgeleide (dy/dx) neemt men als algemene vorm:
:<math>p(x)\, dx \, + \, q(y) \, dy \, = \, 0\! </math>
De ene vorm kan makkelijk in de andere worden omgezet zodat ze geheel gelijkwaardig zijn.
===Eenvoudig geval===
Indien de functie g(y) uit de algemene vormgy() = y is, wordt dit:
:<math>\frac{dy}{dt} + f(t) y = 0 \, </math>
Regel 18 ⟶ 31:
Enige uitwerking is nodig omdat ''ƒ''(''t'') niet noodzakelijkerwijs een constante is; de functie is misschien zelfs niet integreerbaar. Men moet iets aannemen over de domeinen van de betrokken functies, voordat de vergelijking volledig gedefinieerd is. Hebben we het bijvoorbeeld over [[complex getal|complexe functies]], of gewone [[reëel getal|reële]] functies? De gebruikelijke leerboekaanpak is om eerst de vorming van vergelijkingen te bespreken en dan pas de oplossingsmethoden.
===Algemeen geval===
De manier om het algemeen geval op te lossen wordt het eenvoudigst beschreven nadat de differentiaalvergelijking wordt geschreven in de vorm met de differentialen dx en dy:
:<math>p(x)\, dx \, + \, q(y) \, dy \, = \, 0\! </math>
De oplossing van deze differentiaalvergelijking is elke uitdrukking F(x,y) waarvan deze vergelijking de differentiaal is. Dit is het geval voor:
:<math>F(x,y) \, = \, P(x) + Q(y) \! </math>
waar P(x) een primitieve functie van p(x) is, en Q(y) een primitieve functie van q(y).
De algemene oplossing is dus:
:<math>P(x) + Q(y) = K \! </math>
===Voorbeeld===
De differentiaalvergelijking:
:<math>\frac{dy}{dx} \, = x^2 \, tan(y) </math>
wordt in differentiaalvorm:
:<math>x^2 \, dx \, - \, cot(y) \, dy \, = \, 0 </math>
De algemene oplossing is bijgevolg:
:<math> \frac{x^3}{3} \, - \, ln(sin(y)) \, = \, K </math>
met K een willekeurige constante.
==Zie ook==
| |||