Homomorfisme: verschil tussen versies

Omdat de [[abstracte algebra]] [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en met [[operatie (wiskunde)|operatie]]s bestudeert, die interessante structuren of eigenschappen op deze verzameling genereren, zijn de meest interessanteinteressantste [[functie (wiskunde)|functie]]s dezediegene die deze [[operatie (wiskunde)|operatie]]s ''bewaren''. Zulke [[functie (wiskunde)|functie]]s staan bekend als homomorfismen.

Beschouw bijvoorbeeld de [[natuurlijke getal]]len met [[optellen]] als de operatie. Een functie die een optelling bewaart moet de eigenschap hebben dat: ''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b'').

Homomorfismen hoeven niet te mappen tussen verzamelingen die dezelfde operaties hebben. Er bestaan bijvoorbeeld operatie-bewarende functies tussen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] met de operatie optelling en de verzameling van de positieve reële getallen met de operatie vermenigvuldiging. Een functie die een operatie bewaart, vereist hierdanhier dan de eigenschap dat:''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') * ''f''(''b''), aangezien optelling de operatie in de eerste verzameling en vermenigvuldiging de operatie in de tweede verzameling is. Gegeven de wetten van het [[machtsverheffen]], voldoet ''f''(''x'') = e^''x'' aan deze voorwaarde : 2 + 3 = 5 vertaalt zich in e^''2'' * e^''3'' = e^''5''.

* Een '''[[isomorfisme]]''' is een [[bijectief]] homomorfisme. Van twee objecten wordt gezegd dat zijze isomorf zijn als er een isomorfisme tussen deze twee objecten bestaat. Isomorfe objecten zijn, wat de structuur in kwestie betreft, niet van elkaar te onderscheiden.