Lokaal compacte ruimte: verschil tussen versies

In de [[topologie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], zegt men dat een [[topologische ruimte]] '''lokaal compact''' is als ieder [[punt (meetkunde)|punt]] van de topologische ruimte een [[omgevingenbasis]] heeft die uit [[compact]]e [[verzameling (wiskunde)|verzamelingverzamelingen]]en bestaat.

== Eigenschappen ==

Elk lokaal compacte [[preregelmatige ruimte]] is in feite [[volledig regelmatige ruimte|volledig regelmatig]]. Hieruit volgt dat elke lokale compacte Hausdorff-ruimte een [[Tychonov-ruimte]] is. Aangezien standaard regelmaat een meer vertrouwde conditie is dan ofwel preregelmatigheid (die meestal zwakker is) of volledige regelmatigheid (die meestal sterker is), wordt aan lokale compacte preregelmatige ruimten in de wiskundige literatuur normaal gerefereerd als ''lokale compacte regelmatige ruimten''. Op gelijkaardige wijze wordt aan compacte Tychonov-ruimten meestal gerefereeds als ''lokaal compacte Hausdorff-ruimten''.

Elk lokaal compacte Hausdorff-ruimte is een [[Baire-ruimte]]. Dat wil zeggen dat de conclusie van de [[categoriestelling van Baire]] van toepassing is: het [[inwendige (topologie)|inwendige]] van elke [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van [[aftelbare verzameling|aftelbaar vele]] [[Nergens dichte verzameling|nergens dichte]] [[deelverzameling]]en is [[lege verzameling|leeg]].

Een [[Deelruimtetopologie|deelruimte]] ''X'' van een lokaal compacte Hausdorff-ruimte ''Y'' is [[dan en slechts dan als|dan en slechts dan]] lokaal compact als ''X'' kan worden geschreven als het [[complement (verzamelingenleer)|verzamelingtheoretische verschil]] van twee [[gesloten verzameling|gesloten]] [[deelverzameling]]en van ''Y''. Als een [[corollarium]] daarvan is een [[dichte verzameling|dichte]] deelruimte ''X'' van een lokaal compacte Hausdorff-ruimte ''Y'' dan en slechts dan lokaal compact als ''X'' een [[open verzameling|open deelverzameling]] van ''Y'' is. Wanneer bovendien een deelruimte ''X'' van ''enige'' Hausdorff-ruimte ''Y'' lokaal compact is, dan moet ''X'' nog steeds het verschil van twee gesloten deelverzamelingen van ''Y'' zijn, hoewel de [[converse (logica)|converse]] in dit geval niet hoeft op te gaan.

[[Quotiënttopologie|Quotient-ruimteruimten]]n van lokaal compacte Hausdorff-ruimten noemt men [[compact gegenereerd ruimte|compact gegenereerd]].

Voor locaallokaal compacte ruimten betekent [[lokaal uniforme convergentie]] hetzelfde als [[compacte convergentie]] betekent voor [[compacte ruimte]]n.