Scheidingsaxioma: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
k Botgeholpen doorverwijzing: Disjunct - Verwijzing(en) gewijzigd naar disjuncte verzamelingen |
||
Regel 16:
== Hausdorff-ruimte: T2 ==
Een [[topologische ruimte]] heet [[Hausdorff-ruimte]], ook <math>T_2</math>-ruimte of kortweg <math>T_2</math>, als er voor ieder puntenpaar <math>(x,y)</math> een [[disjuncte verzamelingen|disjunct]] paar [[open verzameling]]en <math>(F,G)</math> bestaat zodat elk van beide verzamelingen precies één van de twee punten bevat. Dit is gelijkwaardig met de eis dat de diagonaalverzameling
<math>\{(x,x)|x\in X\}</math> (de verzameling identieke koppels van <math>X</math>) een [[gesloten verzameling|gesloten deel]] is van het [[Cartesisch product]] <math>X\times X</math>, uitgerust met de [[producttopologie]].
Regel 28:
Een topologische ruimte heet ''regulier'', ook <math>T_3</math>-ruimte of kortweg <math>T_3</math>, als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:
#de ruimte is <math>T_1</math>
#voor elk punt ''x'' en elke [[gesloten verzameling]] ''F'' die ''x'' niet bevat, bestaat er een [[disjuncte verzamelingen|disjunct]] paar [[open verzameling]]en (''U,V'') zodat ''x'' tot ''U'' behoort, en ''F'' een deel is van ''V.''
Als een ruimte <math>T_3</math> is, dan is ze ook <math>T_2</math>. Immers, uit de eerste voorwaarde volgt dat alle [[Singleton (wiskunde)|singletons]] gesloten zijn. Maar door de tweede voorwaarde toe te passen op het bijzondere geval van de [[gesloten verzameling]] <math>F=\{y\}</math> volgt de <math>T_2</math>-voorwaarde.
Regel 39:
Een topologische ruimte heet normaal, ook <math>T_4</math>-ruimte of kortweg <math>T_4</math>, als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:
#de ruimte is <math>T_1</math>
#voor elk paar disjuncte [[gesloten verzameling]]en (''E,F'') bestaat er een [[disjuncte verzamelingen|disjunct]] paar [[open verzameling]]en (''U,V'') zodat ''E'' een deel is van ''U,'' en ''F'' een deel is van ''V.''
Als een ruimte <math>T_4</math> is, dan is ze ook <math>T_3</math>. Immers, de eerste voorwaarde is in beide gevallen identiek. En uit de eerste voorwaarde volgt dat alle [[Singleton (wiskunde)|singletons]] gesloten zijn. Maar door de tweede voorwaarde toe te passen op het bijzondere geval van de [[gesloten verzameling]] ''E''={''x''} volgt de tweede <math>T_3</math>-voorwaarde.
| |||