Hamiltonformalisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 3:
De ten behoeve van dit formalisme gedefinieerde grootheid ''Hamiltoniaan'' H is in veel gevallen gelijk aan de totale energie T + V, terwijl de Langrangiaan gelijk is aan T - V. (Waarbij T= kinetische energie en V= potentiële energie.) Dit formalisme is vooral nuttig in systemen waarin H onafhankelijk van de tijd is.
== Afleiding uit het Lagrangeformalisme ==
Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het Lagrangeformalisme. De toestand van een tijdafhankelijk systeem met n [[vrijheidsgraad|vrijheidsgraden]] wordt vastgelegd met een stel [[gegeneraliseerde coördinaten]] <math>q_1,q_2,\ldots,q_n</math>, die per definitie onderling onafhankelijk zijn, en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden <math>\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n</math>, die ook onderling en van de plaatscoördinaten onafhankelijke grootheden zijn. (Tijdsafgeleiden van deze en andere [[Natuurkundige grootheid|natuurkundige grootheden]] worden volgens een conventionele notatie met een punt boven het symbool
Het gedrag van het systeem wordt beschreven door de [[Euler-Lagrange-vergelijking]]en:
Regel 11:
:<math>H = \sum_{i=1}^n \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - L</math>
Nu wordt voor elke gegeneraliseerde coördinaat <math>q_i</math> de bijbehorende ''gegeneraliseerde impuls'' geïntroduceerd:
:<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}</math>. (ii)
Regel 34:
:<math>\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}.</math>
In een conservatief systeem, waarin geen kinetische of potentiële energie verloren gaat aan wrijving, is
:<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0</math>
In dat geval zijn H en L bewegingsconstanten van het syteem.
De ruimte die wordt beschreven met gegeneraliseerde plaatscoördinaten en impulscoördinaten wordt een [[faseruimte]] genoemd, die o.a. in de [[statistische mechanica]] een centrale rol speelt. De [[deelruimte]] met alleen impulscoördinaten, die aleen de bewegingstoestand van een systeem beschrijven, wordt impulsruimte genoemd.
== Veralgemening ==
| |||