Compacte ruimte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 34:
Tegen het begin van de twintigste eeuw begonnen resultaten, die vergelijkbaar waren met die van Arzelà en Ascoli zich op te stapelen op het gebied van [[integraalvergelijking]]en, zoals onderzocht door [[David Hilbert]] en [[Erhard Schmidt]]. Voor een bepaalde klasse van [[Greense funcie|Green-functie]]s die voortkomt uit oplossingen van integraalvergelijkingen, had Schmidt aangetoond dat een eigenschap, die analoog was aan de stelling van Arzela-Ascoli opging in de zin van [[gemiddelde convergentie]] - of convergentie in wat later de "[[Hilbertruimte]]" zou worden genoemd. Dit leidde uiteindelijk tot de notie van een [[compacte operator]] als uitloper van de algemene notie van een compacte ruimte. Het was [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]], die in [[1906]] de essentie van de Bolzano-Weierstrass eigenschap destilleerde en met de term ''compactheid'' op de proppen kwam om aan dit algemene fenomeen te refereren.
Aan het begin van de twintigste eeuw was er intussen langzamerhand een volstrekt verschillende notie van compactheid ontstaan als gevolg van de studie van het [[lineaire continuüm |continuüm]], welke studie werd gezien als "fundamenteel voor de strikte formulering van de analyse". In 1870 liet [[Heinrich Eduard Heine|Eduard Heine]] zien dat een [[continue functie]] gedefinieerd op een gesloten en begrensd interval in feite [[uniforme continuïteit|uniform continu]] was. In het verloop van zijn bewijs maakte Heine gebruik van een lemma dat het "voor enige dekking van het interval door kleinere open intervallen, het mogelijk was om een eindig aantal open intervallen te kiezen die het interval ook bedekten". De betekenis van dit lemma werd in [[1895]] herkend door [[Émile Borel]] en werd in 1895 door [[Pierre Cousin]] en in [[1904]] door [[Henri Lebesgue]] veralgemeend naar willekeurige collecties van intervallen. De [[stelling van Heine-Borel]], zoals dit resultaat nu bekend staat, is een andere speciale eigenschap van gesloten en begrensde verzamelingen van reële getallen.
Deze eigenschap was van belang omdat het toestand [[lokaal eigenschap|lokale informatie]] over een verzameling (zoals de continuïteit van een functie) te veralgemenen naar globale informatie over de verzameling (zoals de uniforme continuïteit van een functie). Dit gevoel werd in 1904 uitgedrukt door Lebesgue, die deze eigenschap ook benutte in de ontwikkeling van de [[Lebesgue-integraal]]. Uiteindelijk formuleerde de Russische school van de [[topologie|puntenverzameling topologie]] onder leiding van [[Pavel Aleksandrov]] en [[Pavel Urysohn]], de notie van Heine-Borel compactheid op een manier die kon worden toegepast om de moderne notie van een [[topologische ruimte]]. In een artikel uit 1929 toonden Alexandrov en Urysohn aan dat de eerdere versie van compactheid, die was geformuleerd door Fréchet, nu ook wel de (relatieve) [[sequentiële compactheid]] genoemd, onder de juiste voorwaarden, volgde uit de versie van compactheid die was geformuleerd in termen van de bestaan van eindige deeldekkingen. Het was deze notie van compactheid die de dominante notie werd, dit omdat het niet alleen een sterkere eigenschap was, maar ook omdat deze notie in een meer algemene setting kon worden geformuleerd met een minimum van aanvullende technische eisen, aangezien deze notie zich slechts verliet op de structuur van de open verzamelingen in een ruimte.
==Voetnoten==
| |||