|
Als ''G'' een [[eindige groep]] is, dan is de [[orde (groepentheorie)|orde]] van ''H'' (d.w.z. het aantal elementen van ''H'') een [[deler]] van de orde van ''G'' ([[Stelling van Lagrange (groepentheorie)|Stelling van Lagrange]]). Het [[quotiënt]] tussen de twee is het aantal linkernevenklassen.
==Basiseigenschappen van ondergroependeelgroepen==
*''H'' is een subgroepdeelgroep van de groep ''G'' [[dan en slechts dan als]] de groep niet-leeg en gesloten is onder vermenigvuldiging en inverses. (De afsluitings condities houden het volgende in: wanneer ''a'' en ''b'' in ''H'' zijn, dan zijn ''ab'' en ''a''<sup>−1</sup> ook in ''H''. Deze twee condities kunnen gecombineerd worden tot een equivalente conditie: wanneer ''a'' en ''b'' in ''H'' is, dan is ''ab''<sup>−1</sup> ook in ''H''.) In het geval dat ''H'' eindig is, dan is ''H'' een subgroepdeelgroep [[dan en slechts dan als]] ''H'' gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element ''a'' van ''H'' een eindige cyclische subgroepdeelgroep van ''H'', en is de inverse van ''a'' gelijk aan ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>''n'' − 1</sup>, waar ''n'' de orde is van ''a''.)
*De hierbovengestelde conditie kan worden gesteld in termen van [[homomorfisme]]; dat is, ''H'' is een subgroepdeelgroep van een groep ''G'' dan en slechts dan als ''H'' een [[deelverzameling]] van ''G'' is en er een insluitings homomorfisme bestaat (d.w.z., i(''a'') = ''a'' voor elke ''a'') van ''H'' naar ''G''.
*De identiteit van een subgroepdeelgroep is de identiteit van de groep: als ''G'' een groep is met identiteit ''e''<sub>''G''</sub>, en ''H'' is een subgroepdeelgroep van ''G'' met identiteit ''e''<sub>''H''</sub>, dan ''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>.
*De inverse van een element in een subgroepdeelgroep is de inverse van het element in de groep: als ''H'' een subgroepdeelgroep is van een groep ''G'', en ''a'' en ''b'' zijn elementen van ''H'' zodat geldt dat ''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub>, dan geldt dat ''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub>.
*De [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van de subgroependeelgroepen ''A'' en ''B'' is opnieuw een subgroepdeelgroep. De [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van de subgroependeelgroepen ''A'' en ''B'' is dan en slechts dan een subgroepdeelgroep als of ''A'' of ''B'' de andere omvat, aangezien bijvoorbeeld 2 en 3 in de vereniging van 2Z en 3Z zitten maar hun som 5 niet.
*Als ''S'' een deelverzameling is van ''G'', dan bestaat er een minimale subgroepdeelgroep die ''S'' omvat. Deze minimale subgroepdeelgroep kan worden gevonden door de doorsnede te bepalen van alle subgroependeelgroepen die ''S'' bevatten; deze wordt aangeduid met <''S''> en wordt de [[genererende verzameling van een groep|subgroepdeelgroep gegenereerd door ''S'']] genoemd. Een element van ''G'' is in <''S''> dan en slechts dan als het een eindig product is van elementen van ''S'' en hun inverses.
*Elk element ''a'' van een groep ''G'' genereert een cyclische subgroepdeelgroep <''a''>. Als <''a''> [[isomorfisme|isomorf]] is met '''Z'''/''n'''''Z''' voor enig positief geheel getal ''n'', dan is ''n'' het kleinste positieve gehele getal waarvoor geldt dat ''a''<sup>''n''</sup> = ''e'', en wordt ''n'' de ''orde'' van ''a'' genoemd. Als <''a''> isomorf is met '''Z''', dan zegt men dat ''a'' van een ''oneindige orde'' is.
*De subgroependeelgroepen van enig gegeven groep vormen een [[complete tralie]] onder insluiting die de [[tralie van subgroependeelgroepen]] wordt genoemd. (Terwijl de [[infimum]] hier de gebruikelijke verzameling-theoretische doorsnede is, is de [[supremum]] van een verzameling van subgroependeelgroepen de subgroepdeelgroep die wordt ''gegenereerd door'' de verzameling-theoretische vereniging van de subgroependeelgroepen, en niet de verzameling-theoretische vereniging zelf.) Als ''e'' een identiteit van ''G'' is, dan is de [[triviale groep]] {''e''} de [[gedeeltelijk geordende verzameling|minimale]] subgroepdeelgroep van ''G'', terwijl de [[gedeeltelijk geordende verzameling|maximale]] subgroepdeelgroep de groep ''G'' zelf is.
==Voorbeeld==
==Nevenklasses en de stelling van Lagrange==
Gegeven een subgroepdeelgroep ''H'' en een willekeurige ''a'' in G, definiëren we de '''linker[[nevenklasse]]''' ''aH'' = {''ah'' : ''h'' in ''H''}. Omdat ''a'' inverteerbaar is, is de mapping φ : ''H'' → ''aH'' gegeven door φ(''h'') = ''ah'' een [[bijectie]]. Verder maakt elk element van ''G'' deel uit van precies een linker nevenklasse van ''H''; de linker nevenklasses zijn de [[equivalentieklasse]]s die corresponderen met de [[equivalentierelatie]] ''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub> [[dan en slechts dan als]] ''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub> in ''H'' is. Het aantal linkernevenklasses van ''H'' wordt de ''index'' van ''H'' in ''G'' genoemd en wordt aangeduid door [''G'' : ''H'']. ▼
De [[stelling van Lagrange (groepentheorie)|stelling van Lagrange]] stelt dat voor een [[eindige groep]] ''G'' en een subgroepdeelgroep ''H'' geldt dat, ▼▲Gegeven een subgroep ''H'' en een willekeurige ''a'' in G, definiëren we de '''linker[[nevenklasse]]''' ''aH'' = {''ah'' : ''h'' in ''H''}. Omdat ''a'' inverteerbaar is, is de mapping φ : ''H'' → ''aH'' gegeven door φ(''h'') = ''ah'' een [[bijectie]]. Verder maakt elk element van ''G'' deel uit van precies een linker nevenklasse van ''H''; de linker nevenklasses zijn de [[equivalentieklasse]]s die corresponderen met de [[equivalentierelatie]] ''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub> [[dan en slechts dan als]] ''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub> in ''H'' is. Het aantal linkernevenklasses van ''H'' wordt de ''index'' van ''H'' in ''G'' genoemd en wordt aangeduid door [''G'' : ''H''].
▲De [[stelling van Lagrange (groepentheorie)|stelling van Lagrange]] stelt dat voor een [[eindige groep]] ''G'' en een subgroep ''H'' geldt dat,
:<math> [ G : H ] = { |G| \over |H| } </math>
waar ''|G|'' en ''|H|'' de [[orde (groepentheorie)|orde]]n van ''G'' en ''H'' aanduiden. De orde van elke subgroepdeelgroep van ''G'' (en de orde van elk element van ''G'') moet een [[deler]] zijn van ''|G|''.
'''Rechternevenklassen''' worden op analoge wijze gedefinieerd: ''Ha'' = {''ha'' : ''h'' in ''H''}. Zij zijn ook equivalentie klassen voor een gepaste equivalentierelatie en hun aantal (de index) is gelijk aan [''G'' : ''H''].
Als ''aH'' = ''Ha'' voor elke ''a'' in ''G'', dan zegt men dat ''H'' een [[normaaldeler|normale subgroepdeelgroep]] is. Elke subgroepdeelgroep met index 2 is normaal: de linker- en rechternevenklassen zijn dan simpelweg de subgroepdeelgroep en het complement daarvan.
[[Categorie:Groepentheorie]]
| 