Compact: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
kGeen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 25:
Een belangrijke eigenschap van compacte topologische ruimten is dat het beeld van een compacte ruimte onder een [[continue functie|continue]] afbeelding ook weer compact is. Met andere woorden: compactheid is een [[continu-invariant]]. Andere eigenschappen zijn:
* Als ''X'' compact is en <math>Y\subset X</math> is [[gesloten verzameling|gesloten]], dan is ''Y'' met de deelruimtetopologie compact.
* Als ''X'' een [[Hausdorff-ruimte]] is en <math>Y\subset X</math> met de deelruimtetopologie is compact, dan is ''Y'' gesloten.
Uit deze eigenschappen volgt bijvoorbeeld dat een [[bijectie]]ve continue afbeelding van een compacte ruimte naar een [[
De stelling van [[Andrej Nikolajevitsj Tychonov|Tychonov]] luidt dat het [[Producttopologie|product]] van compacte ruimten opnieuw compact is.
Regel 44:
==Compacte delen van de Euclidische ruimte==
Metrische ruimten zijn tevens [[Hausdorff-ruimte]]n. De compacte delen van <math>\mathbb{R}^n</math> met de gewone metriek zijn dus gesloten.
Elke compacte (deelruimte van een) [[metrische ruimte]] is [[Begrensdheid|begrensd]]. Dit blijkt aan de hand van de open overdekking die bestaat uit alle open bollen <math>B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}</math> met een vast middelpunt <math>x</math>.
Regel 64:
De [[Alexandrov-compactificatie]] of [[eenpuntscompactificatie]] voegt aan een willekeurige topologische ruimte één punt toe, [[punt op oneindig]] genaamd. Een verzameling heet open in <math>X\cup\{\infty\}</math> als ze een open verzameling is in de oorspronkelijke topologie van ''X,'' of als haar complement een compact deel van ''X'' is. De eenpuntscompactificatie bestaat voor eender welke topologische ruimte ''X.''
De [[Stone-Chech-compactificatie]] of [[beta-compactificatie]] is beperkt tot ruimten ''X'' die aan het [[scheidingsaxioma]] ''T''<sub>3.5</sub> (axioma van Tychonov) voldoen. De uitgebreide ruimte is niet alleen compact, maar bovendien [[Hausdorff-ruimte|Hausdorff]]. De constructie gaat als volgt: zij ''C'' de verzameling van alle [[continue functie]]s van ''X'' naar het gesloten interval [0,1]. De ruimte ''X'' kan worden opgevat als deelruimte van de oneindige [[producttopologie|productruimte]]
:<math>[0,1]^C</math>
door met ieder element ''x'' de evaluatie van continue functies in ''x'' te associëren. De [[Afsluiting (topologie)|topologische sluiting]] van deze deelruimte is de compactificatie van ''X.''
| |||