Hamiltonformalisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 2:
== Afleiding uit het Lagrangeformalisme ==
Stel dat we een mechanisch systeem hebben dat beschreven wordt door het Lagrangeformalisme. De toestand van
De verandering van het systeem in de tijd wordt gegeven door de Euler-Lagrangevergelijkingen,
Regel 10:
Verder voeren we de ''Hamiltoniaan'' of ''Hamiltonfunctie'' in, die de [[Legendre-transformatie]] naar <math>\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n</math> is van de Langrangiaan. Dit is een standaardmethode om een tweede orde DV om te zetten in een stelsel van twee eerste orde DV's:
:<math>H(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t) = \sum_{i=1}^n p_i\dot q_i - L(q_1,\ldots,q_n,\dot q_1,\ldots,\dot q_n,t),</math>
waarbij we de gegeneraliseerde snelheden <math>\dot q_i</math> uitdrukken in de variabelen <math>q_1,\ldots,q_n,p_l,\ldots,p_n,t</math>. Vervolgens berekenen we de ''totale differentiaal'' van de Hamiltoniaan met behulp van de [[productregel]] voor het over i gesommeerde product en het uitschrijven van de totale differentiaal voor <math>
:<math>\mathrm{d}H = \sum_{i=1}^n\left(p_i\,\mathrm{d}\dot q_i + \dot q_i\,\mathrm{d}p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\mathrm{d}q_i - \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\mathrm{d}\dot q_i\right) - \frac{\partial L}{\partial t}\,\mathrm{d}t.</math>
Door de definitie van <math>p_i</math> in te vullen in zowel bovenstaande uitdrukking als in de Euler-Lagrangevergelijkingen en het resultaat van deze laatste substitutie ook in bovenstaande uitdrukking in te vullen kan de <math>\dot q</math>-afhankelijkheid van H geëlimineerd worden:
| |||