Continuümhypothese: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Externe bronnen toegevoegd |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
In de [[verzamelingenleer]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''continuümhypothese''' een door [[Georg Cantor]] in 1877 geponeerde [[hypothese]] over de mogelijke grootte van [[oneindige verzameling|oneindige]] [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en. De hypothese luidt dat:
De '''continuümhypothese''' van [[Georg Cantor]] uit [[1874]] is een [[hypothese]] uit de [[verzamelingenleer]], die stelt dat de [[kardinaliteit]] van de verzameling [[reëel getal|reële getallen]] (het [[continuüm (wiskunde)|continuüm]]) het eerste [[overaftelbaarheid|overaftelbare]] kardinaalgetal is, oftewel het eerste kardinaalgetal groter dan de kardinaliteit van de [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]].▼
:''Er is geen verzameling waarvan de kardinaliteit tussen de kardinaliteit van de gehele getallen en de kardinaliteit van de reële getallen ligt.''
▲De
== Kardinaliteit van oneindige verzamelingen ==
Het aantal natuurlijke getallen is per definitie [[oneindigheid|aftelbaar oneindig]], en wordt aangeduid met <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> (uitspraak: "alef nul"; [[alef]] is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Met zijn [[Diagonaalbewijs van Cantor|diagonaalbewijs]] toonde Cantor aan dat het aantal reële getallen aangeduid als C groter is dan <math>{}_{}^{\aleph_0}</math>.
Uit het diagonaalbewijs volgt echter niet dat C gelijk is aan <math>{}_{}^{\aleph_1}</math> = 2<sup><math>{}_{}^{\aleph_0}</math></sup>, het eerste kardinaalgetal groter dan <math>{}_{}^{\aleph_0}</math>. Er kunnen willekeurig veel kardinaalgetallen liggen tussen <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> en C. De continuümhypothese luidt nu<ref>Martin Gardner, ''Wheels, life and other mathematical amusements'', Chapter 4 ''alephs and supertasks'', p 33, Freeman 1983, ISBN 0716715899</ref> dat dit niet het geval is: C = 2<sup><math>{}_{}^{\aleph_0}</math></sup> = <math>{}_{}^{\aleph_1}</math>.
== Onbeslisbaarheid binnen de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer ==
Het vaststellen van de waarheid of onwaarheid van de continuümhypothese is het eerste van de [[23 problemen van Hilbert]] uit het jaar 1900. De bijdragen van de [[Kurt Gödel]] in 1940 en van [[
== De veralgemeende continuümhypothese ==
De '''gegeneraliseerde continuümhypothese''' ('''GCH'''), opgesteld door [[Felix Hausdorff]] in [[1908]], breidt dit uit.
Regel 10 ⟶ 18:
:<math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}</math>
▲[[Kurt Gödel]] en [[Paul Cohen (wiskundige)|Paul Cohen]] hebben bewezen dat er binnen de gangbare verzamelingenleer geen bewijs voor of tegen de continuümhypothese te leveren is, wat een fraaie - zelfs de eerste - illustratie is van Gödels [[onvolledigheidsstellingen van Gödel|onvolledigheidsstelling]]. Om te bepalen of de continuümhypothese geldig is, zal men dus [[axioma]]'s moeten toevoegen aan de gangbare [[axiomastelsels]] (zoals het [[keuzeaxioma]] van [[Ernst Zermelo]] in de [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer]] [[ZFC]]). De discussie over hoe zo'n axioma eruit zou moeten zien, is een van de grootste vragen in de moderne verzamelingenleer.
Met de continuümhypothese geldt dat het aantal reële getallen C gelijk is aan <math>{}_{}^{\aleph_1}</math>. Zonder de continuümhypothese kunnen er oneindig veel <math>{}_{}^{\aleph}</math>'s liggen tussen <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> en C. Beide mogelijkheden zijn even aannemelijk: de ene is niet meer of minder waar dan de andere.
==Voetnoten==
{{Referenties}}
| |||