Kardinaliteit: verschil tussen versies

In de [[verzamelingenleer]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is de '''kardinaliteit''' van een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] een maat voor het "aantal [[element (wiskunde)|element]]en in een verzameling '. De verzameling A = {2, 4, 6} bevat bijvoorbeeld drie elementen, en daarom heeft der verzameling A een kardinaliteit van 3. Het begrip 'kardinaliteit' gaat echter verder dan het 'aantal' elementen in een verzameling, aangezien kardinaliteiten ook zijn gedefinieerd voor [[oneindige verzameling]]en. De kardinaliteit van een verzameling ''A'' wordt aangeduid met |''A''|, met een [[verticale streep]] aan elke kant; dit is dezelfde notatie als die voor [[absolute waarde]]. De betekenis is afhankelijk van de context.

 

 

Twee verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze een-op-een op elkaar kunnen worden [[afbeelding (wiskunde)|afgebeeld]], dat wil zeggen dat we aan elk element van de ene verzameling een en niet meer dan een element van de andere verzameling toevoegen, en vice versa (zie ook [[functie (wiskunde)|bijectieve functies]]). Deze verzamelingen worden dan ''[[gelijkmachtigheid|gelijkmachtig]]'' of ''equipotent'' genoemd.

 

==Vergelijken van verzamelingen==

===== Geval 1: | ''A'' | = | ''B'' | =====

 

:De verzameling ''E'' = {0, 2, 4, 6, ...} van [[negatief getal|niet-negatieve]] [[even]] getallen heeft bijvoorbeeld dezelfde kardinaliteit als de verzameling '''N''' = {0, 1, 2, 3, ...} van [[natuurlijk getal|natuurlijke getal]]len, aangezien de functie ''f''(''n'') = 2''n'' een bijectie is van '''N''' op ''E''.

 

:De verzameling van '''R''' van alle [[reëel getal|reële getal]]len heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinalieit van de verzameling '''N''' van alle natuurlijke getallen, omdat de inclusiemap ''i'' : '''N''' → '''R''' injectief is, maar het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van '''N''' op '''R''' bestaat.

 

==Kardinale getallen==

{{hoofdartikel|Kardinaalgetal}}

 

 

#De kardinaliteit van een verzameling ''A'' wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.