Versie van 4 apr 2009 00:41 bewerken JRB (overleg \| bijdragen) 42.429 bewerkingen kGeen bewerkingssamenvatting ← Oudere bewerking		Versie van 22 mei 2009 20:40 bewerken ongedaan maken JRB (overleg \| bijdragen) 42.429 bewerkingen kGeen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 11: :<math>2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}</math> [[Kurt Gödel]] en [[Paul Cohen (wiskundige)\|Paul Cohen]] hebben bewezen dat er binnen de gangbare verzamelingenleer geen bewijs voor of tegen de continuümhypothese te leveren is, wat een fraaie - zelfs de eerste - illustratie is van Gödels [[onvolledigheidsstellingen van Gödel\|onvolledigheidsstelling]]. Om te bepalen of de continuümhypothese geldig is, zal men dus [[axioma]]'s moeten toevoegen aan de gangbare [[axiomastelsels]] (zoals het [[keuzeaxioma]] van [[Ernst Zermelo]] in de [[Zermelo-Fraenkel[[-verzamelingenleer]] [[ZFC]]). De discussie over hoe zo'n axioma eruit zou moeten zien, is een van de grootste vragen in de moderne verzamelingenleer. Met de continuümhypothese geldt dat het aantal reële getallen C gelijk is aan <math>{}_{}^{\aleph_1}</math>. Zonder de continuümhypothese kunnen er oneindig veel <math>{}_{}^{\aleph}</math>'s liggen tussen <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> en C. Beide mogelijkheden zijn even aannemelijk: de ene is niet meer of minder waar dan de andere.

Continuümhypothese: verschil tussen versies