Booglengte: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k robot Anders: az:Qövs Uzunluğu (Riyaziyyat) |
-htmlentities, catfix, -Sjabloon |
||
Regel 3:
==Formule==
[[Afbeelding:Booglengte.PNG|thumb|240px|Voor een klein stukje ''∆s'' kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden]]
Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de coöordinaatsfuncties ''x(t)'' en ''y(t)'' wordt de booglengte bepaald door een [[infinitesimaal]] klein stukje ''ds'' van de kromme te [[integraal|integreren]]. Voor een klein stukje ''
:<math>\Delta s^2 \approx \Delta x^2 + \Delta y^2\,</math>.
Regel 36:
===Andere normen===
Deze definitie blijft ook gelden voor algemenere [[norm (wiskunde)|normen]] <math>\|.\|</math>, en in plaats van <math>\mathbb{R}^n</math> kunnen we zelfs een algemene genormeerde ruimte ''X'' nemen (eventueel, maar niet noodzakelijk, een
===Booglengte in gekromde ruimten===
Een andere veralgemening bestaat erin, de Euclidische ruimte te vervangen door een gekromde ''n''-dimensionale [[
:<math>\|f'(t)\|=\sqrt{\sum_{i,j=1}^ng_{ij}{\partial f^i\over\partial x_j}}</math>
==Parametrisering door booglengte==
Als een kromme gedefinieerd wordt door een differentieerbare functie ''f'' van een
Bij een reguliere kromme is de functie
Regel 58:
:<math>g:[0,s(t_0)]\to X:r\mapsto f(s^{-1}(r))</math>
heeft dezelfde beeldverzameling in ''X'' als de oorspronkelijke kromme ''f'', maar ze heeft ook de bijkomende eigenschap dat haar ''snelheidsvector'' overal lengte
:<math>\|g'(r)\|=\|f'(s^{-1}(r)).(ds^{-1}/dr)\|=\left\|{f'(s^{-1}(r))\over(ds/dt)(s^{-1}(r))}\right\|={\|f'(s^{-1}(r))\|\over\|f'(s^{-1}(r))\|}=1</math>
Regel 65:
[[Boog (meetkunde)]] voor de berekening van de booglengte van een [[cirkel]].
{{
[[
[[az:Qövs Uzunluğu (Riyaziyyat)]]
| |||