Ondergroep (wiskunde): verschil tussen versies

Als ''G'' een [[eindige groep]] is, dan is de [[orde (groepentheorie)|orde]] van ''H'' (d.w.z. het aantal elementen van ''H'') een [[deler]] van de orde van ''G'' ([[Stelling van Lagrange (groepentheorie)|Stelling van Lagrange]]). Het [[quotiëntquotiënt]] tussen de twee is het aantal linkernevenklassen.

*''H'' is een subgroep van de groep ''G'' [[dan en slechts dan als]] de groep niet-leeg en gesloten is onder vermenigvuldiging en inverses. (De afsluitings condities houden het volgende in: wanneer ''a'' en ''b'' in ''H'' zijn, dan zijn ''ab'' en ''a''^−1−1 ook in ''H''. Deze twee condities kunnen gecombineerd worden tot een equivalente conditie: wanneer ''a'' en ''b'' in ''H'' is, dan is ''ab''^−1−1 ook in ''H''.) In het geval dat ''H'' eindig is, dan is ''H'' een subgroep [[dan en slechts dan als]] ''H'' gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element ''a'' van ''H'' een eindige cyclische subgroep van ''H'', en is de inverse van ''a'' gelijk aan ''a''^−1−1 = ''a''^{''n'' −− 1}, waar ''n'' de orde is van ''a''.)

Gegeven een subgroep ''H'' en een willekeurige ''a'' in G, definiëren we de '''linker[[nevenklasse]]''' ''aH'' = {''ah'' : ''h'' in ''H''}. Omdat ''a'' inverteerbaar is, is de mapping φφ : ''H'' →→ ''aH'' gegeven door φφ(''h'') = ''ah'' een [[bijectie]]. Verder maakt elk element van ''G'' deel uit van precies een linker nevenklasse van ''H''; de linker nevenklasses zijn de [[equivalentieklasse]]s die corresponderen met de [[equivalentierelatie]] ''a''₁ ~ ''a''₂ [[dan en slechts dan als]] ''a''₁^−1−1''a''₂ in ''H'' is. Het aantal linkernevenklasses van ''H'' wordt de ''index'' van ''H'' in ''G'' genoemd en wordt aangeduid door [''G'' : ''H''].