Axiomatische verzamelingenleer: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 3:
== Geschiedenis en uitingsvormen ==
De eerste axiomatiseringen van de verzamelingenleer werden al voor de ontdekking van antinomieën in de verzamelingenleer opgesteld, namelijk in 1889 door [[Giuseppe Peano]] en in 1893 door [[Gottlob Frege]]. Beiden bouwden aan een [[rekenen|rekenkunde]], die was gefundeerd op "rekenen" met verzamelingen of klassen. Aangezien beide systemen inconsistent bleken te zijn, dit vanwege axioma's, die onbegrensde vorming van verzamelingen voorschreven, worden deze twee systemen tot de naïeve verzamelingenleer gerekend. Onder de axiomatische verzamelingenleer verstaat men namelijk alleen axiomatiseringen, die tegenstrijdigheden weten te voorkomen.
Om tegenspraken te voorkomen stelde [[Bertrand Russell]] een ''gelaagde'' opbouw van de verzamelingenleer voor. Tussen 1903-1908 ontwikkelde hij zijn [[typentheorie]], die in 1910 ook als basis van de ''[[Principia Mathematica]]'' diende. In dit werk is een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] steeds van een hoger type dan haar [[element (wiskunde)|element]]en. Uitspraken als "deze verzameling bevat zichzelf als element", waarop de [[Russellparadox]] was gebaseerd, laten zich in deze typetheorie niet eens formuleren. De typetheorie probeert door middel van een beperkte syntax van het toelaatbare uitspraken over klassen de gerezen problemen op te lossen. Bij Russell zelf heeft de typentheorie nog geen axiomatische vorm aangenomen, maar later werd de typentheorie tot een relatief gecompliceerde axiomatische theorie uitgebouwd. Dat deze axiomatische theorie vrij van tegenspraken was, werd door [[Paul Lorenzen]] aangetoond. De vrijheid van tegenspraken van de op de typentheorie gebaseerde ''Principia Mathematica'' is, op grond van de [[onvolledigheidsstellingen van Gödel]], echter niet [[bewijs (wiskunde)|bewijsbaar]]. De typetheorie in de ''Principia Mathematica'' was in de [[logica]] lange tijd maatgevend, maar kon zich in de praktijk van de wiskunde niet doorzetten, enerzijds vanwege de complexiteit en anderzijds omdat zij niet toereikend was. De typetheorie is namelijk onvoldoende om Cantors verzamelingenleer en de wiskunde met taalkundige middelen te onderbouwen.
Tot de bekendere axiomatiseringen, die zich niet op [[Georg Cantor|Cantor]] of Zermelo-Fraenkel oriënteren, maar op de typetheorie, hoort de verzamelingenleer van [[Willard Van Orman Quine]], met name diens ''New Foundations'' (NF) (Nieuwe grondslagen) uit het jaar 1937.
| |||