Equivalentierelatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →Hoofdstelling: typo + accenten |
|||
Regel 81:
Er is een diepe overeenkomst tussen equivalentierelaties en [[Partitie (wiskunde)|partities]] van een verzameling.
Gegeven een
:''x'' ~<sub>''P''</sub> ''y'' desda er een een ''K'' <math>\in</math> ''P'' is zodanig dat ''x'' <math>\in</math> ''K'' en ''y'' <math>\in</math> ''K''.
Regel 96:
en dus dat ''K'' = [''x''].
;Stelling 3:Iedere partitie ''P'' van een verzameling ''X'' is de
(''Bewijs'') Zij ''P'' een partitie van ''X''. Uit hulpstelling 1 volgt dat ~<sub>''P''</sub> een equivalentierelatie is. We bewijzen in twee stappen dat ''X''/~<sub>''P''</sub> = ''P''. Neem ten eerste een willekeurige ''K'' <math>\in</math> ''P''. Omdat ''P'' een partitie is, is er een ''x'' <math>\in</math> ''K''. Uit hulpstelling 2 volgt dan dat ''K'' = [''x''], wat bewijst dat ''K'' <math>\in</math> ''X''/~<sub>''P''</sub> en dus dat ''P'' <math>\subseteq</math> ''X''/~<sub>''P''</sub>. Neem ten tweede een willekeurige [''x''] <math>\in</math> ''X''/~<sub>''P''</sub>. Omdat ''P'' een partitie is weten we dat er precies
;Hoofdstelling van equivalentierelaties:Er is een [[Bijectie|
(''Bewijs'') Gegeven een verzameling ''X'', zij ''A'' de verzameling van alle equivalentierelaties op ''X'' en ''B'' de verzameling van alle partities van ''X''. We bewijzen dat de [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]]
:''α'' : ''A'' → ''B''
:''α'' : ''R'' <math>\mapsto</math> ''X''/''R''
een
== Geconstrueerde equivalentierelaties ==
| |||