Equivalentierelatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 71:
;Eigenschap 1:Van iedere equivalentierelatie ~ op ''X'' is de quotiëntverzameling ''X''/~ een [[partitie (wiskunde)|partitie]] van ''X''.
(''Bewijs'') Zij ~ een equivalentierelatie op ''X''. Uit gevolg 1 in de paragraaf over equivalentieklassen volgt dat iedere ''x'' <math>\in</math> ''X'' in precies één equivalentieklasse van ''X'' zit. Daarbij zitten per definitie van ''quotiëntverzameling'' alle equivalentieklassen van ''X'' in ''X''/~ en heeft ''X''/~ verder geen elementen. Dan volgt dus dat iedere ''x'' <math>\in</math> ''X'' in precies één element van ''X''/~ zit. Uit de definitie van ''equivalentieklasse'' volgt verder dat er geen elementen ''u'' <math>\notin</math> ''X'' in enige equivalentieklasse van ''X'' zitten, wat samen met het voorgaande bewijst dat de [[vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van alle elementen van ''X''/~ gelijk aan ''X'' is. De [[lege verzameling]], ten slotte, is geen element van de quotiëntverzameling. In de quotiëntverzameling zitten immers enkel equivalentieklassen en uit eigenschap 1 van equivalentieklassen volgt dat die altijd tenminste één element hebben.
;Eigenschap 2:Iedere equivalentierelatie op ''X'' levert een unieke quotiëntverzameling op. Er zijn, met andere woorden, geen twee verschillende equivalentierelaties op ''X'' die dezelfde quotiëntverzameling van ''X'' opleveren.
| |||