Gladde functie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 22:
Omdat cos(1/''x'') oscilleert als ''x'' tot nul nadert, is ''f'' ’(''x'') niet continu op nul, Deze functie is daarom wel differentieerbaar, maar niet van differentieerbaarheidsklasse ''C<sup>1</sup>''. Als men verder ''f''(''x'')=''x<sup>3/2</sup>''sin(1/''x'') neemt, waar in dit voorbeeld geldt dat ''x'' ≠0, kan dit worden gebruikt om te laten zien dat de afgeleide functie van een differentieerbare functie onbegrensd kan zijn op een [[compacte verzameling]] en dat een differentieerbare functie op een compacte verzameling daarom niet lokaal [[Lipschitz-continuiteit|Lipschitz-continu]] hoeft te zijn.
[[Afbeelding:Mollifier illustration.png|links|thumb|250px|Een gladde functie die niet analytisch is.]]
De [[exponentiële functie]] is analytisch, dus van differentieerbaarheidsklasse ''C<sup>ω</sup>''. De [[goniometrische functie]]s zijn analytisch hoe ze ook zijn gedefinieerd.
De functie
:<math>f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ als } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ anders }\end{cases}</math>
is glad, dus van klasse ''C<sup>∞</sup>'', maar is niet analytisch op <math>x=\pm 1 </math>, en is dus niet van klasse ''C<sup>ω</sup>''. De functie ''f'' is een voorbeeld van een gladde functie met [[compact|compacte]] [[ondersteuning (wiskunde)|ondersteuning]].
[[Categorie:Analyse]]
| |||