Gladde functie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Vertaald uit de Engelse en de Duitse wikipedia |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
[[Afbeelding:Bump2D illustration.png|right|thumb|
In de [[analyse]] is een '''differentieerbaarheidsklasse''' een classificatie van [[functie (wiskunde)|functie]]s aan de hand van de eigenschappen van de [[afgeleide]]s van deze functies. Hogere-orde differentieerbaarheidsklassen corresponderen met het bestaan van meer afgeleides. Functies die willekeurig vaak, zeg maar [[oneindigheid|oneindig]] vaak, differentieerbaar zijn worden '''glad''' genoemd. Daarbij slaat het woord ''glad'' op hoe de grafieken er visueel uitziet: De [[Grafiek (wiskunde)|grafiek]] van een oneindig differentieerbare functie en daardoor ook de grafieken van alle [[Differentiaalrekening|afgeleiden]] hebben geen „hoeken“, dus zijn er geen plaatsen, op welke de functie niet differentieerbaar is.
==Voorbeelden==
▲[[Afbeelding:Bump2D illustration.png|right|thumb|250px|Een [[deukfunctie]] is een gladde functie met een [[compacte drager]].]]
[[Afbeelding:C0 function.png|thumb|200px||right|De ''C<sup>0</sup>'' functie ''f''(''x'')=''x'' voor ''x''≥0 en anders 0.]]
[[Afbeelding:TV pic3.png|thumb|200px|right|De functie ''f''(''x'')=''x''<sup>2</sup> sin(1/''x'') voor ''x''>0.]]
De functie
:<math>f(x) = \begin{cases}x & \mbox{als }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{als }x < 0\end{cases}</math>
is continu, maar niet differentieerbaar als <math>x=0</math>. De functie is daarom van differentieerbaarheidsklasse ''C<sup>0</sup>'' maar niet van differentieerbaarheidsklasse ''C<sup>1</sup>''.
De functie
:<math>f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(1/x)} & \mbox{als }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{als }x = 0\end{cases}</math>
is differentieerbaar, met [[afgeleide]]
:<math>f'(x) = \begin{cases}-cos{(1/x)} + 2x\sin{(1/x)} & \mbox{als }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{als }x = 0.\end{cases}</math>
Omdat cos(1/''x'') oscilleert als ''x'' tot nul nadert, is ''f'' ’(''x'') niet continu op nul, Deze functie is daarom wel differentieerbaar, maar niet van differentieerbaarheidsklasse ''C<sup>1</sup>''. Als men verder ''f''(''x'')=''x<sup>3/2</sup>''sin(1/''x'') neemt, waar in dit voorbeeld geldt dat ''x'' ≠0, kan dit worden gebruikt om te laten zien dat de afgeleide functie van een differentieerbare functie onbegrensd kan zijn op een [[compacte verzameling]] en dat een differentieerbare functie op een compacte verzameling daarom niet lokaal [[Lipschitz-continuiteit|Lipschitz-continu]] hoeft te zijn.
[[Categorie:Analyse]]
| |||