Neutraal element: verschil tussen versies

'''Neutraal element''' is een begrip uit de [[wiskunde]], meer bepaald uit de [[abstracte algebra]]. Een neutraal element wordt ook wel '''eenheidselement''' genoemd. Een '''neutraal''' element in een [[Magma (wiskunde)|magma]] <math>(V,*)</math>, is een [[element (wiskunde)|element]] ''e'' &isin; ''V'' met de eigenschap dat voor elke ''a'' &isin; ''V'' geldt:

:<math>a * e = a = e * a \,</math>.

Daaraan zien we waarom van '''neutraal element''' wordt gesproken, want bij [[operatie (wiskunde)|bewerking]] met een neutraal element verandert er niets, het element ''e'' gedraagt zich neutraal.

Men zou zich kunnen afvragen of het niet voldoende zou zijn slechts een van de [[gelijkheid (wiskunde)|gelijkheden]] te eisen. Door echter beide gelijkheden te eisen, is gegarandeerd dat ook als de bewerking <math>*</math> niet [[commutatief]] is, er slechts één neutraal element is. Stel namelijk dat <math>e_1</math> en <math>e_2</math> beide neutraal element zijn. Dan volgt direct:

:<math>e_2 * e_1 = e_2 \,</math>

:<math>e_1= e_2 * e_1 \,</math>,

:<math>e_2 = e_2 * e_1 = e_1 \,</math>.

Indien men een additieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met [[0 (getal|0]].<br />

Indien men een multiplicatieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met [[1 (getal)|1]].

:Voorbeeld: <math>4.27 + 0 = 4.27\mathfrak{}</math>

:Voorbeeld: <math>6 \cdot 1 = 6</math>

*In de verzameling van de m x n matrices met de bewerking matrix-optelling[[matrixoptelling]] is de m x n nulmatrix (geheel gevuld met nullen) het neutrale element.

:Voorbeeld: <math>\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}</math>

*In de verzameling van de (vierkante) n × n matrices en de bewerking matrix-vermenigvuldiging[[matrixvermenigvuldiging]] is de [[eenheidsmatrix]] het neutrale element.

:Voorbeeld: <math>\begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix}</math>

*In de [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van de [[even|even getallen]] met bewerking vermenigvuldigen bestaat er '''géén''' neutraal element.